Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png Η διάμεσος $BN$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $P$ και έστω $E$ η προβολή του $P$ στην $AC.$ Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων $AE, AP, EC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η $BE$ διέρχεται από τ...

Ζητείται τέταρτος για πρέφα.pngΗ παραβολή με τύπο : $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$ , τέμνει τον $x-$άξονα στα σημεία $A , B$ και τον $y'y$ , στο $C$ . Ο κύκλος $(A , B , C )$ , τέμνει εκ νέου την παραβολή στο σημείο $D$ . Βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο του $D$ . Έστω $A(x_1,0), B(x_2,0), C(0,c)$ και ...

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Υπολογίστε το $h$ , αν : $DS=5$ . $\displaystyle CS \cdot CA = CD \cdot CB \Leftrightarrow bx = 48 \Leftrightarrow \frac{6}{b} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow \cos C = \frac{x}{8}$ Τερατώδες ύψος.png Νόμος συνημιτόνου στο $SDC,$ ...

Δεν πάει μακριά η βαλίτσα.pngΤο τρίγωνο $ABC$ έχει την εξής ιδιότητα : Το άθροισμα του ύψους $AD$ και του τμήματος $BD$ , είναι ίσο με το τμήμα $DC$ . Προεκτείνουμε την $BC$ - και προς τις δύο κατευθύνσεις - κατά ίσα τμήματα : $BS , CP$ . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{AP}{AS}$ . Πού π...

Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , $AD,BE,CZ$ τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,...

Η διάμεσος κάθετη_mathematica.png . Από σημείο $P$ εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ,$PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC\,\,.$ Ας είναι $A$ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $BC$. Αν $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ οι προβολές του $P$ στις $AB\,\,,\,\,AC$ και $M$ το μέσο της χορδής $BC$ , Δε...

Παραπλήσιοι λόγοι.pngΣτην πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ADP}=30^\circ$ . Στην προέκταση της $PD$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι ώστε : $CS=CA$ . α) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{CD}{DS}$ και : $\dfrac{AP}{PB}$ . β) Δείξτε ότι ο δεύτερος λόγος έχε...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . α) Τα τρίγωνα $BPC,MPS$ είν...

Βρείτε ( ει δυνατόν χωρίς χρήση παραγώγου ) την μέγιστη τιμή της παράστασης : $A(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ $\displaystyle \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = y \Leftrightarrow y{x^2} - 2x + y - 1 = 0,$ όπου αν $y=0$ τότε $x=-\dfrac{1}{2}.$ Αν $y\ne 0,$ για να έχουμε λύση ως προς $x$ πρέπει $\displaystyle ...

Ίσες χορδές , διπλάσιο εμβαδόν.pngΗ εφαπτομένη σε σημείο $S$ του ημικυκλίου διαμέτρου $OK$ , τέμνει τους κύκλους $(O , OS)$ και $(K , KS)$ στα σημεία $T , P$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $PS=TS$ και βρείτε εκείνη την θέση του $S$ , για την οποία το εμβαδόν του μεγαλύτερου ( πράσινου ) κυκλικού τομέα ,...

Η εφαπτόμενη και η κάθετη αυτής στο σημείο $\mathrm{A}$ της παραβολής $y^2 = 2px$ τέμνουν τον άξονα $x'x$ στα σημεία $\mathrm{B}$ και $\Gamma$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το περίκεντρο του τριγώνου $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του $\mathrm{A}$). To $ABC$ είναι ορθογώνιο, άρα το περ...

Α-μεσότητα.pngΒρείτε την θέση του $S$ στον μικρό κύκλο , ώστε η τομή του $PS$ με τον μεγάλο να είναι το μέσο του $PS$ . Η ενδεδειγμένη λύση είναι αυτή που δείχνει "εύλογα" το σχήμα του φίλτατου Νίκου. Ας δούμε όμως και μία υπολογιστική. Α-μεσότητα.png $\displaystyle M{P^2} = 9{d^2} - {x^2}$ και με ...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . Αποχρώντες λόγοι.Κ.png α) $...

Σφηνοειδής γραφή.pngΤα $S , P $ είναι σημεία του κύκλου : $(x-3)^2+(y-3)^2=9$ και τέτοια ώστε : $PS \perp OS$ . Εντοπίστε τη θέση του $S$ , για την οποία οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι ίσες . Δεν μπόρεσα να βρω κάτι εύκολο. Η λύση μου είναι χρονοβόρα. Την παραθέτω εν συντομία. Με δύναμη σημείο...

Νεανικές κατασκευές.pngΚατασκευάστε το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $AKP$ , το οποίο εφάπτεται στην υποτείνουσα σε σημείο $S$ . Ποια ιδιότητα του τριγώνου παράγει και την ισότητα : $BK=CS$ ; Η $BK=x$ είναι προφανώς διχοτόμος, άρα $\displaystyle {x^2} = ac - BK \cdot KC = ac - ...

2024.04.13 mathematica.jpg Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά $m, x, n$ Δείξτε ότι: $x²+x(m+n)-2mn=0$ Λόγω των διχοτόμων $AE, AZ$ είναι: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{E^2} = cAZ - mx \hfill \\ A{Z^2} = bAE - nx \hfill \\ \...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, κύκλος $(K,R)$ είναι εσωτερικός του κύκλου $(O,2R)$. Ζητείται το μήκος της ακτίνας $R$. Από το εγγράψιμο $NBCE$ είναι $\displaystyle AN \cdot 4R = 4 \cdot 16 \Leftrightarrow AN = \frac{{16}}{R}$ και από το ορθογώνιο τρίγωνο $ADE$ έχω $\displaystyle A{D^2} = AN \cdot 4R ...

Γωνιακό θαύμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα $BS$ , ώστε : $\widehat{SAT}=10^0$ . Υπενθυμίζεται ότι το $x$ θεωρείται υπολογισμένο , αν είναι ο άγνωστος εξίσωσης , μέχρι τετάρτου βαθμού . $\displaystyle B\widehat AS = 2B\widehat SA \Leftrightarrow {x^2} = 16 + 4AS$ Γωνια...

Κομψή εφαπτομένη.pngΒρείτε - στην πλέον κομψή μορφή - την $\tan\theta$ , στο ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος . $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{B^2} = BS \cdot BD \hfill \\ {a^2} = DS \cdot BD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{BS}}{{DS}} = \frac...