Η αναζήτηση βρήκε 63 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Αύγ 29, 2023 10:10 am
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Πρόταση Ερατοσθένη
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 632
Re: Πρόταση Ερατοσθένη
Υπήρξε λάθος κατά τη μεταφορά σε Latex, με αποτέλεσμα να λείπουν ορισμένα(κρίσιμα) ριζικά στην εκφώνηση και την λύση. Η ανάρτηση διορθώθηκε για να βγάζει νόημα. Ευχαριστώ για την έγκαιρη παρατήρηση
- Δευ Αύγ 28, 2023 10:25 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Πρόταση Ερατοσθένη
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 632
Πρόταση Ερατοσθένη
Πρόταση Ένας ακέραιος αριθμός $\alpha \geq 2$ είναι πρώτος αν δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο ακέραιο αριθμό $\rho$ με $\rho \leq \sqrt{\alpha}$. Απόδειξη Έστω $A$ το σύνολο των πρώτων ακέραιων αριθμών $\rho$ με $\rho \leq \sqrt{\alpha}$, που δεν διαιρούν το $\alpha$. Για τους ακέραιους που είναι μ...
- Παρ Ιαν 06, 2023 12:52 am
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: 4 Απλές προτάσεις Θεωρίας Αριθμών
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 694
4 Απλές προτάσεις Θεωρίας Αριθμών
Με το συνάδελφο Ευρυπίδη Κασσέτα παρουσιάζουμε 4 απλές προτάσεις της Θεωρίας Αριθμών με τις αποδείξεις τους. 1. Το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το 3. 2. Το γινόμενο ν διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το ν. 3. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 και του 3 έ...
- Κυρ Φεβ 25, 2018 5:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- Θέμα: Γενίκευση δύο γνωστών προβλημάτων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 718
Γενίκευση δύο γνωστών προβλημάτων
I) Γνωστά προβλήματα (Να μη λυθούν) 1) Ένας πατέρας μοίρασε όλα τα μαργαριτάρια του στις κόρες του ως εξής: η πρώτη κόρη παίρνει 1 μαργαριτάρι και το $\frac{1}{7}$ των υπολοίπων. Η δεύτερη κόρη παίρνει δυο μαργαριτάρια και το $\frac{1}{7}$ των υπολοίπων. Η τρίτη κόρη παίρνει τρία μαργαριτάρια και το...
- Κυρ Φεβ 25, 2018 5:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 2394
Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Με τον συνάδελφο Ευριπίδη Κασσέτα επιλέξαμε τις παρακάτω ασκήσεις: 1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{10y^2+2xy+x+y-2=0}$ (1) 2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{3y^2-6xy+12x-7y+2=0}$(1) 3) Να βρεθούν οι τιμές του $x \in Z$, για τις οποίες η παράσ...
- Παρ Δεκ 15, 2017 11:42 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- Θέμα: Άρρητες Εξισώσεις
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3369
Re: Άρρητες Εξισώσεις
Με το συνάδελφο Μαθηματικό Ευριπίδη Κασσέτα διαλέξαμε και παρουσιάζουμε μια ομάδα (13) Άρρητων Εξισώσεων, απευθυνόμενοι σε συναδέλφους και μαθητές, επειδή στα τελευταία Σχολικά Βιβλία περιέχονται μόνο οι πολύ απλές μορφές. Στην πρώτη άσκηση θα επιμείνουμε σχολαστικά στους περιορισμούς, ώστε να αποτ...
- Σάβ Νοέμ 04, 2017 1:06 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1579
Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3
Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3 Ένας άλλος (ανορθόδοξος) τρόπος επίλυσης 1) Να λυθεί το σύστημα εξισώσεων: $\begin{cases} 2\chi -y + z = -1 \quad \quad(1) & \\ \chi - y + 2z = -3 \quad \quad (2) & \\ \chi + y - 2z = 1 \quad \quad \quad (3) \end{cases}$ Λύση Μεταξύ των (1), (2) απαλοίφω το...
- Σάβ Νοέμ 04, 2017 12:23 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- Θέμα: Άρρητες Εξισώσεις
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3369
Άρρητες Εξισώσεις
Με το συνάδελφο Μαθηματικό Ευριπίδη Κασσέτα διαλέξαμε και παρουσιάζουμε μια ομάδα (13) Άρρητων Εξισώσεων, απευθυνόμενοι σε συναδέλφους και μαθητές, επειδή στα τελευταία Σχολικά Βιβλία περιέχονται μόνο οι πολύ απλές μορφές. Στην πρώτη άσκηση θα επιμείνουμε σχολαστικά στους περιορισμούς, ώστε να αποτε...
- Παρ Ιουν 02, 2017 8:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1586
Re: Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα
1) Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι: $\mid \alpha + \beta \mid \leq \mid \alpha \mid + \mid \beta \mid, \mid \beta + \gamma \mid \leq \mid \beta \mid + \mid \gamma \mid, \mid \gamma + \alpha \mid \leq \mid \gamma \mid + \mid \alpha \mid \Rightarrow$ $\frac{1}{\mid \alpha + \beta \mid} \geq \frac{1}{\mid \alp...
- Σάβ Απρ 22, 2017 11:05 am
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1586
Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα
1) Να δειχθεί ότι για $\alpha, \beta, \gamma \in R^+$ ισχύει: $\frac{1}{\mid \alpha + \beta \mid} + \frac{1}{\mid \beta + \gamma \mid} + \frac{1}{\mid \gamma + \alpha \mid} \geq \frac{9}{2}\frac{1}{\mid \alpha \mid + \mid \beta \mid + \mid \gamma \mid}$ 2) Αν $x_1, x_2, ..., x_{\nu} >0$ και $\kappa_...
- Παρ Μαρ 03, 2017 11:00 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- Θέμα: Ασκήσεις στις ανισότητες (Α)
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1839
Re: Ασκήσεις στις ανισότητες (Α)
1) Να δειχθεί ότι: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cdot \cdot (2 \nu)<(\nu+1)^\nu$, όπου $\nu>1$ και $\nu \in N$. Απόδειξη: Βάσει της $(\frac{\alpha + \beta}{2})^2 \geq \alpha \beta$ έχουμε: $2 \cdot 2 \nu<(\frac{2+2\nu}{2})^2=(\nu+1)^2$ $4\cdot (2\nu-2)<(\frac{4+2\nu-2}{2})^2=(\nu+1)^2$ $6\cdot (...
- Τρί Φεβ 28, 2017 11:57 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2023
Re: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
Συμπλήρωση στην απόδειξη Cauchy (Από Αλγεβρικά Θέματα Π. Μάγειρα) Στην παραπάνω ανάρτηση χρησιμοποίησα την πρόταση: "από γνωστή ιδιότητα συνεπάγεται". Επειδή είχα μερικά προσωπικά μηνύματα για την εν λόγω ιδιότητα, την παρουσιάζω εδώ ως: Λήμμα Αν $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_\nu, \alpha_nu >0$,...
- Τρί Φεβ 28, 2017 11:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: 4η Απόδειξη Ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 0
- Προβολές: 761
4η Απόδειξη Ανισότητας Cauchy
4η Απόδειξη Ανισότητας Cauchy (Ι) $\frac{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}{\nu}\geq \sqrt[\nu]{\alpha_1\alpha_2...\alpha_\nu} \quad \forall \ \alpha_i>0, i=1, 2, ..., \nu$ Εδώ παρουσιάζω αποδείξεις, το περιεχόμενο των οποίων κατά 95% είναι στη διδασκόμενη ύλη του Λυκείου. Για την παρακάτω απόδειξη ...
- Τρί Φεβ 28, 2017 11:24 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα
- Απαντήσεις: 0
- Προβολές: 706
Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα
Αλγεβρική απόδειξη ότι το 641/F5 & Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα Ι. Εικασία Fermat (1601-1665) Ο Fermat είχε ισχυρισθεί το 1640 ότι οι αριθμοί $F_\nu=2^{2^{\nu}}+1 (\nu \in N)$ "αριθμοί Fermat" είναι πρώτοι αριθμοί (πλάνη Fermat). Η εικασία Fermat ισχύει για τους αριθμούς $F_0, F_1, F_2, F...
- Τρί Φεβ 28, 2017 10:54 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- Θέμα: Ασκήσεις ανισότητας Cauchy (Α)
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1870
Re: Ασκήσεις ανισότητας Cauchy (Α)
Λύσεις στις ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy Αν $\nu \in N, \nu \geq 2$ και $x_1, x_2, ..., x_\nu \in R_*^+$, τότε: $\frac{x_1+x_2+...+x_\nu}{\nu}\geq \sqrt[\nu]{x_1\cdot x_2\cdot \cdot \cdot x_\nu} \geq \frac{\nu}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_\nu}}$ (ανισότητα Cauchy) 1) Αν $\frac{\alp...
- Τετ Νοέμ 30, 2016 9:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2023
Re: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
Προσοχή στα τυπογραφικά σφάλματα εδώ: $\underbrace{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}_{\text{A}} \geq \underbrace{\sqrt[\nu]\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot...\cdot\alpha_\nu}}_{\text{G}}$, με $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_\nu >0$ Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων ας προσθέσω ότι υπάρχουν δεκάδες και δεκάδες αποδ...
- Παρ Νοέμ 18, 2016 9:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Μια απλή προσέγγιση της δημιουργίας του υπερβατικού αριθμού για τους μαθητές Λυκείου
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1307
Μια απλή προσέγγιση της δημιουργίας του υπερβατικού αριθμού για τους μαθητές Λυκείου
Μια απλή προσέγγιση της δημιουργίας του υπερβατικού αριθμού για τους μαθητές Λυκείου: $e=\displaystyle{\lim_{\nu \to +\infty}(1+\frac{1}{\nu})^\nu}$ Ο τύπος του ανατοκισμού $A=P(1+\frac{R}{n})^n$, όπου $A$ το κεφάλαιο που θα πάρουμε, $P$ το αρχικό κεφάλαιο, $R$ το επιτόκιο, $n$ ο αριθμός των περιόδ...
- Παρ Νοέμ 18, 2016 12:55 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2023
Γεωμετρική απόδειξη ανισότητας Cauchy
Γεωμετρική απόδειξη ανισότητας Cauchy για 2 ευθύγραμμα τμήματα από το σχ. βιβλίο Ι.Πανάκη, 1968 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα $\alpha$ και $\beta$, με $\beta>\alpha$ και ζητείται να κατασκευαστούν τα ευθύγραμμα τμήματα $x, y, \omega$, ώστε: $x=\frac{\alpha+\beta}{2} \quad(1), \qquad y=\s...
- Παρ Νοέμ 18, 2016 12:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2023
Απόδειξη ανισότητας Cauchy από το βιβλίο "Αλγεβρικά Θέματα"
Απόδειξη ανισότητας Cauchy από το βιβλίο: Αλγεβρικά θέματα, Παν. Μάγειρα, Τόμος 5ος, 1974 Με $\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_\nu >0$, να δείξετε ότι: $\forall \nu \in N: \frac{\alpha_1+\alpha_2+....+\alpha_\nu}{\nu} \geq \sqrt[\nu]{\alpha_1\alpha_2...\alpha_\nu}$ (1) Λύση Αν θέσουμε: $\lambda=\sqrt...
- Παρ Νοέμ 18, 2016 11:13 am
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας Cauchy
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2023
Απόδειξη ανισότητας Cauchy
Ο Σύμβουλος Μαθηματικών Ευάγγελος Παναγιώτου μου έδωσε την παρακάτω απόδειξη της ανισότητας Cauchy, από το περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Αμερικής, "The College Mathematics Journal". $\underbrace{\frac{{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}}{\nu}}_{\text{A}} \geq \underbrace{\sqrt[\nu]{\alpha_1...