Θα χρησιμοποιήσουμε τις επόμενες σχέσεις, για το υπερβολικό ημίτονο $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ το υπερβολικό συνημίτονο $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ και την υπερβολική εφαπτόμενη $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ $\sinh(-x)=-\sinh x$, $\tanh(-x)=-\tanh x$, $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x...

Α' Λυκείου. Πρόβλημα 3: Άσκηση του σχολικού βιβλίου: Αν $a,b,c>0$ και $\dfrac{a}{b}>1$ τότε $\dfrac{a+c}{b+c}<\dfrac{a}{b}$ Είναι $\dfrac{5\alpha}{2\alpha}=\dfrac{5}{2}>1$ άρα $A=\dfrac{5\alpha+\beta}{2\alpha+\beta}<\dfrac{5}{2}$ Ο $A$ είναι θετικός ακέραιος, άρα $A=1$ ή $A=2$. Με έλεγχο βρίσκουμε $...

Συγχαρητήρια.
Οι συγγραφείς αποτελούν εγγύηση της ποιότητας των βιβλίων.

Μια συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση $f(f(x))<f(x)$ για κάθε $x\in[0,1]$ είναι η $f(x)=\begin{cases} x^2 \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{2} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$. Τότε $f(f(x))=\begin{cases} x^4 \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{4} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$. Παρατηρούμε ότι στο ανοικτό ...

Στην ετήσια εκδήλωση που έκανε πρόσφατα το Παράρτημα Λακωνίας της Ε.Μ.Ε. έγινε παρουσίαση μιας εργασίας, που δημιούργησαν μαθητές από σχολεία του νομού μαζί με μέλη του Παραρτήματος. Αυτή εκδόθηκε σε ένα μικρό βιβλίο και διατέθηκε την ημέρα της εκδήλωσης. Ο τίτλος της εργασίας είναι: «Φράσεις από τα...

Το Γ3 απ' ευθείας Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση $E(x)=5$ έχει μοναδική λύση στο διάστημα $(0,8)$. Είναι $E(x)=5 \Leftrightarrow \dfrac{(\pi+4)x^2-64x+256}{16\pi}=5 \Leftrightarrow$ $(\pi+4)x^2-64x+256=80\pi \Leftrightarrow (\pi+4)x^2-64x+256-80\pi=0$. Είναι $\Delta =64^2-4(\pi+4)(256-80\pi)=64^2-64(\...

Υποθέτουμε ότι $\hat{A}\geq\dfrac{\hat{B}+\hat{C}}{2} \Rightarrow 2\hat{A}\geq\hat{B}+\hat{C} \Rightarrow $ $2\hat{A}\geq 180\textdegree-\hat{A} \Rightarrow \hat{A}\geq 60\textdegree \Rightarrow \cos A\leq \cos 60\textdegree \Rightarrow$ $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leq \dfrac{1}{2} \Rightarrow b^2+c^2...

Διαφορετικά Έστω $r_1,r_2$ οι ρίζες της εξίσωσης. Τότε $r_1r_2=-340p$. Άρα $p/r_1$ ή $p/r_2$. Έστω $p/r_1$, οπότε $r_1=mp$, $m$ ακέραιος. Είναι $r_1+r_2=-p \Rightarrow r_2=-(m+1)p$. Τότε $r_1r_2=-340p \Rightarrow -(m+1)pmp=-340p \Rightarrow (m+1)mp=2^2\cdotp 5\cdotp 17$. Άρα $p\in\{2,5,17\}$. Ελέγχο...

Να βρείτε τον πρώτο αριθμό αν και οι δύο ρίζες της εξίσωσης

είναι ακέραιες.

Έστω συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι:

για κάθε με και για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε .

Να αποδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση.

2. Είναι $f(0)=0$ και για κάθε $x>0$ έχουμε: $f^5(x)+xf(x)+x^2=0 \Rightarrow f(x)[f^4(x)+x]=-x^2 \Rightarrow f(x)<0$. Έστω $x_0\geq 0$. Τότε $f^5(x_0)+x_0f(x_0)+x_0^2=0.$ Έχουμε: $f^5(x)+xf(x)+x^2-f^5(x_0)-x_0f(x_0)-x_0^2=0=0 \Rightarrow$ $f^5(x)-f^5(x_0)+xf(x)-xf(x_0)+xf(x_0)-x_0f(x_0)+(x-x_0)(x+x...

Έστω με Να αποδείξετε ότι:

Συμφωνώ και συνυπογράφω.

Στράτης Αντωνέας
Μαθηματικός
ΓΕΛ Καστορείου Λακωνίας

Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με $f(x) \geqslant -1$. Πραγματικά, και δεν χρειάζεται τίποτα από τα παραπάνω ερωτήματα. Το wolfram βγάζει περίπου -0,87 Έχει ενδιαφέρον αν μπορούμε να φτάσουμε εκεί κοντά χωρίς κομπιούτερ. Για $x>0$ είναι $\sin x<x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120} \Rightarrow \d...

Θεωρούμε συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα , με

, και .

Δείξτε ότι υπάρχει τέτοιος ώστε .

Για το Γ1. Έχουμε την εξίσωση: $x^4-32x^2+257=\dfrac{4|x+2|}{x^2+4x+8}$ Έστω $f(x)=x^4-32x^2+257$ και $g(x)=\dfrac{4|x+2|}{x^2+4x+8}=\dfrac{4|x+2|}{|x+2|^2+4}$ με $x\in\mathbb{R}$. Είναι $f'(x)=4x^3-64x=4x(x-4)(x+4)$ από τον πίνακα μονοτονίας της $f$ βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστη τιμή στις θέσεις $x=-...

ΑΣΚΗΣΗ 8 Είναι: $r_1+r_2+r_3-r_4=(r_1+r_2+r_3+r_4)-2r_4=-\dfrac{b}{a}-2r_4$ Το γινόμενο των τεσσάρων παρενθέσεων είναι: $\Gamma=\left(-\dfrac{b}{a}-2r_1\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_2\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_3\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_4\right)=$ $\left(\dfrac{b}{a}+2r_1\right)\left(\dfrac{...

ΑΣΚΗΣΗ 6
Έστω πολυώνυμο βαθμού , για το οποίο δίνεται ότι για .
Να βρείτε το .

ΑΣΚΗΣΗ 4
Θεωρούμε το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,
για το οποίο δίνεται ότι .
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος ώστε .

21. $x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}$ Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $6x-4\sqrt{2}\geq 0 \Leftrightarrow x\geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ Τότε: $x^3+4 \sqrt{2} = 6\sqrt[3]{6x-4 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $x^3-2\sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -6\sqrt{2} \Leftrightarrow$ $x^3-\lef...