Η αναζήτηση βρήκε 2334 εγγραφές

από achilleas
Σάβ Ιούλ 22, 2017 5:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ
Απαντήσεις: 40
Προβολές: 10902

Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ

Θερμά Συγχαρητήρια, παιδιά! Με 1 Χρυσό, 4 Αργυρά, και 1 Χάλκινο οι μαθητές μας ανέβασαν την Ελλάδα στην 12η θέση (μαζί με τη Γεωργία) ! Πρόκειται για τεράστια επιτυχία, αφού καταταγήκαμε ψηλότερα από πολλές "υπερδυνάμεις" των Μαθηματικών Ολυμπιάδων! Συγχαρητήρια στον κ. Φελλούρη και στον Σ...
από achilleas
Παρ Ιουν 23, 2017 9:36 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Αντιπαραδείγματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 568

Re: Αντιπαραδείγματα

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά ... 1. Βρείτε μια σχέση μεταξύ των \displaystyle{x,y} η οποία δεν ορίζει συνάρτηση. 2. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ορίζεται η \displaystyle{f+g} αλλά όχι η \displaystyle{f\circ g} 3. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίε...
από achilleas
Δευ Ιουν 19, 2017 2:49 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2488

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

ΘΕΜΑ Γ Γ2. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην y=f(x) στο A(2,f(2)) είναι y-f(2)=f'(2)(x-2) . Είναι f(2)=2^2-2+1=3 και f'(2)=2\cdot 2-1=3 . Συνεπώς, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y-3=3(x-2), δηλ. y=3x-3. Αν δεν έχει αλλάξε...
από achilleas
Δευ Ιουν 19, 2017 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ταυτότητα και ελάχιστο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 232

Re: Ταυτότητα και ελάχιστο

α) Να γράψετε την παράσταση \displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12} στη μορφή \displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi} . β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των \displaystyle{x} και \displaystyle{y}. α...
από achilleas
Δευ Ιουν 19, 2017 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2488

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

ΘΕΜΑ Γ Γ1 H f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=2x-1. Είναι f'(x)>0\iff 2x-1>0\iff x>\dfrac{1}{2}, f'(x)=0\iff 2x-1=0\iff x=\dfrac{1}{2}. f'(x)<0\iff 2x-1<0\iff x<\dfrac{1}{2}. Δηλ. η f είναι γν. φθίνουσα στο (-\infty,\dfrac{1}{2}] και γν. αύξουσα στο [\...
από achilleas
Τρί Ιουν 13, 2017 11:11 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Γραφικά, είναι φανερό ... Αχιλλέα, ακριβώς. Αυτό που ήθελα να αναδείξω στο προηγούμενο ποστ μου είναι ότι η φυσιολογική απόδειξη είναι αυτή που μας καθοδηγεί το σχήμα. Παρακάτω κάνω το σχήμα της δικής μου απόδειξης (= παραλλαγής άλλων που είδαμε στο φόρουμ) όπου αναδεικνύεται η αιτία του φαινομένου...
από achilleas
Τρί Ιουν 13, 2017 7:18 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ'
Θέμα: Βρείτε συναρτήσεις
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1558

Re: Βρείτε συναρτήσεις

Άλλη μία είναι η f(x)=e^x. Δείξτε το! Ωραία λύση, Αχιλλέα! Άλλη μια απόδειξη προκύπτει με πρόσθεση των ανισοτήτων: \displaystyle{e^{x^2}>x,} που ισχύει αφού \displaystyle{e^{x^2}\geq x^2+1>x,} και \displaystyle{e^{x^2}\geq xe^x, που ισχύει αφού e^{x^2-x}\geq x^2-x+1\geq x, Η δική σας είναι ...
από achilleas
Τρί Ιουν 13, 2017 6:16 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

..... Για να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες εφαπτόμενες που διέρχονται από το ( \frac {\pi}{2} , - \frac {\pi}{2} ) πέρα από αυτές στα (0,0), \, ( \pi, 0) , έστω a \in (0, \frac {\pi}{2}) . Η εφαπτομένη στο (a, -\sin a) έχει κλίση -\cos a > -1 \, (*)...
από achilleas
Δευ Ιουν 12, 2017 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σταθερό σημείο συνάρτησης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 572

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

stranton έγραψε:Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1], με

f(0)>0 , f(1)=1 και f'(1)>1.

Δείξτε ότι υπάρχει x_0\in(0,1) τέτοιος ώστε f(x_0)=x_0.


Δείτε μια παρόμοια εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Δευ Ιουν 12, 2017 7:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ'
Θέμα: Βρείτε συναρτήσεις
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1558

Re: Βρείτε συναρτήσεις

Άλλη μία είναι η f(x)=e^x. Δείξτε το! Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Περίπτωση 1 : 0<x< 1 . Η συνάρτηση g με g(x)=\dfrac{2e^{x^2}}{x} για x\in (0,1) έχει ελάχιστο 2\sqrt{2e} για x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} , αφού g'(x)=\dfrac{2e^{x^2}(2x^2-1)}{x^2}. Έτσι, είναι \...
από achilleas
Δευ Ιουν 12, 2017 1:16 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κλασική και εύκολη!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 513

Re: Κλασική και εύκολη!

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες, ώστε \displaystyle{ f^2(x+y)=xf(x)+yf(y)+2f(xy) , \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}. } Πρώτα δείχνουμε ότι είναι f(0)=0. Με x=y=0 , παίρνουμε f^2(0)=2f(0) , οπό...
από achilleas
Κυρ Ιουν 11, 2017 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Από ανισότητα σε ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 325

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα!

Αν \displaystyle{x\in \mathbb{R}} , \displaystyle{y\geq 0} και \displaystyle{y(y+1)\leq (x+1)^2} , να αποδείξετε ότι \displaystyle{y(y-1)\leq x^2.} Αφού απαντήθηκε, ας μου επιτραπεί να επισημάνω ότι η παραπάνω είναι μια λίγο πιο απλή διατύπωση του προβλήματος Β2 του διαγωνισ...
από achilleas
Κυρ Ιουν 11, 2017 11:40 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Με αφορμή το Γ4_2017
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 450

Re: Με αφορμή το Γ4_2017

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{x} dx < \frac{\sqrt{2}}{2}} Είναι \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{x} dx\leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x} dx=\ln 2<0,7<\dfrac{\sqrt{2}}{2}.} Για την \ln 2<0,7 δείτε, π.χ. ...
από achilleas
Σάβ Ιουν 10, 2017 2:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύστημα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 353

Re: Σύστημα!

Να βρεθούν τα a,b \in \mathbb{R} , ώστε το σύστημα \displaystyle \begin{cases} x^3+y^3=2 \\ y=ax+b \end{cases} να μην έχει πραγματικές λύσεις (x,y) . Έστω ότι το σύστημα δεν έχει πραγματικές λύσεις. Με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η παίρνουμε x^3+(ax+b)^3=2 (*) Αν a\ne -1 , ...
από achilleas
Παρ Ιουν 09, 2017 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μια παρατήρηση για το Γ3¨ Γραφικά το όριο που ζητείται είναι το \lim_{A\to E}\dfrac{(BD)}{(BC)}=+\infty. Προσθήκη : Το παραπάνω όριο μπορεί να αποδειχθεί και γεωμετρικά, εάν θεωρήσουμε τα σημεία τομής των ευθειών EB , EC , και ED με τον άξονα yy' και χρησιμοποιήσουμε ομοιότητα τρ...
από achilleas
Παρ Ιουν 09, 2017 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μια άλλη ιδέα για το Γ3: Με αλλαγή μεταβλητής y=\pi-x>0 , κι αφού f(x)=f(y) , παίρνουμε \displaystyle{\lim_{x\to \pi}\dfrac{f(x)+x}{f(x)-x+\pi}=\lim_{y\to 0^{+}}\dfrac{f(y)+\pi-y}{f(y)+y}} . Για 0<y<\dfrac{\pi}{2} , είναι -y<f(y) <y , οπότε f&#...
από achilleas
Παρ Ιουν 09, 2017 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

B4 Για τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C_{\phi} έχουμε: \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \phi(x) = \lim\limits_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{e^x + 1} =\\ (del'Hospital \frac{+\infty}{+\infty} ) =\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{e^x}{e^x} = 1 Συνεπώς η y=1 είναι ...
από achilleas
Παρ Ιουν 09, 2017 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Για το Γ1 Η τυχαία εφαπτομένη της f έχει εξίσωση y+\sin a=-\cos a(x-a) Διέρχεται από το σημείο A(\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}) αν και μόνο αν \dfrac{\pi}{2}\cos a+\sin a-a\cos a-\dfrac{\pi}{2}=0. Θεωρούμε την εξίσωση k(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos x+\sin x-x\cos x-\dfrac{\pi}{2} ...
από achilleas
Παρ Ιουν 09, 2017 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 10226

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

manousos έγραψε:... Μάλλον το \displaystyle{\sqrt[3]{x}} δεν ορίζεται παντού (γιατί όμως;). Γνωρίζει κανείς για ποιο λόγο γίνεται ...


Δες το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α' λυκείου.

Αναλυτικό σχόλιο υπάρχει στο forum εδώ κι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Μάιος 31, 2017 10:32 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συναρτησιακή σχέση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 654

Re: Συναρτησιακή σχέση

Κάτι μου θύμιζε το θέμα αυτό. Παραθέτω μια παραπομπή, χωρίς λύση.

Όπως βλέπουμε στο βιβλίο των Djukic, et.al, The IMO Compendium from 1979 to 2009, σελ. 126, το (β) αποτέλεσε θέμα της 'longlist", προτεινόμενο από τη Γαλλία το 1979.


Φιλικά,

Αχιλλέας

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση