Η αναζήτηση βρήκε 261 εγγραφές

από Dreamkiller
Παρ Σεπ 21, 2012 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 979

Re: Αποδόσεις σε στοίχημα

Αν δεν ισχύει αυτή η ανισότητα, μπορούμε να κερδίζουμε πάντοτε χρήματα από τον ΟΠΑΠ, στοιχηματίζοντας και στα τρία πιθανά αποτελέσματα. Έστω ότι στοιχηματίζουμε x, y, z στο κάθε αποτέλεσμα και θέλουμε να κερδίζουμε σταθερό ποσό, έστω S , ανεξαρτήτως του αποτελέσματος. Δηλαδή θέλουμε να έχει λύση το ...
από Dreamkiller
Παρ Σεπ 21, 2012 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Συμπεριφορά του σημείου του Θ.Μ.Τ.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 313

Συμπεριφορά του σημείου του Θ.Μ.Τ.

Έστω f συνεχής στο [a,x] και παραγωγίσιμη στο (a,x) . Από το Θ.Μ.Τ. γνωρίζουμε πως υπάρχει \xi_{x} \in (a,x) τέτοιο ώστε f(x)-f(a)=f'(\xi_{x})(x-a) . Αν επιπλέον υπάρχει το f''(a) και δεν είναι μηδέν, να αποδείξετε ότι \displaystyle...
από Dreamkiller
Τρί Ιούλ 03, 2012 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 979

Re: Αποδόσεις σε στοίχημα

Οι αποδόσεις είναι αριθμοί που θέτει ο διοργανωτής (καλό είναι εν προκειμένω να φανταστούμε τον ΟΠΑΠ) για το τελικό αποτέλεσμα του αγώνα: νίκη της μιας ομάδας, ισοπαλία, νίκη της άλλης. Εάν ο αγώνας είναι knockout (πρέπει οπωσδήποτε να νικήσει μια ομάδα) ως τελικό σκορ θεωρείται το σκορ στο 90' (με ...
από Dreamkiller
Τρί Ιούλ 03, 2012 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 979

Αποδόσεις σε στοίχημα

Αν a,b,c είναι οι αποδόσεις για ένα ποδοσφαιρικό στοίχημα (ο διοργανωτής του οποίου εξασφαλίζει πρωτίστως το συμφέρον του), να αποδείξετε ότι
ab+bc+ca > abc
από Dreamkiller
Πέμ Μαρ 08, 2012 4:28 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2012 - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΛΥΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1534

Re: SEEMOUS 2012 - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΛΥΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

Ευχαριστώ ρε Σάκη, να 'σαι καλά.
Να ευχηθώ καλή επιτυχία στον alex_eske.
από Dreamkiller
Πέμ Οκτ 13, 2011 12:58 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 283

Re: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Παρατηρούμε ότι \displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{xy(x+y+2z)}{z(z+x)(z+y)}=\frac{x+y}{z} . Υψώνοντας στο τετράγωνο τη δοθείσα αρκεί να αποδείξουμε ότι 4z^2(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)^2 Όμως ισχύει ότι z(z+x)(z+y) \geq xy...
από Dreamkiller
Κυρ Οκτ 09, 2011 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 332

Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι \displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{2}{3} να δείξετε ότι

\displaystyle (ab+bc+ca)^2+\frac{5}{9} \geq a^3+b^3+c^3+6abc
από Dreamkiller
Σάβ Οκτ 01, 2011 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 350

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Ωχ, σωστά. Νόμιζα πως ήταν πιο σφιχτή, συγγνώμη. :oops:
από Dreamkiller
Σάβ Οκτ 01, 2011 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 350

Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c έχουν άθροισμα 2 να αποδείξετε ότι

a^4+b^4+c^4+abc \geq a^3+b^3+c^3

Δείτε και εδώ.
από Dreamkiller
Τρί Σεπ 27, 2011 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 240

Re: Θεωρία αριθμών

Λόγω της ταυτότητας 2^{ab}-1=(2^a-1)(1+2^a+...+2^{(b-1)a}) παρατηρούμε πως αν x|y τότε 2^x-1|2^y-1 . Θέτοντας \displaystyle s=2^{p-1}-1 το δοθέν κλάσμα γράφεται \displaystyle \frac{(2^s-1)(2^s+1)}{(2^7-1)(2^p-1)} . Επειδή p \neq 7 , έχουμε πως ...
από Dreamkiller
Κυρ Σεπ 25, 2011 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 2
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 613

Ανισότητα στους πραγματικούς 2

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=3abc \neq 0, να δείξετε ότι

\displaystyle a^2+b^2+c^2-3abc +6 \geq \frac{a^2+1}{ab}+\frac{b^2+1}{bc}+\frac{c^2+1}{ca}

Να αναφέρω ότι αυτή η ανισότητα, όπως και αυτή, είναι δική μου κατασκευή.
από Dreamkiller
Δευ Σεπ 19, 2011 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Υπάρχει συνάρτηση;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 336

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Θα αποδείξω κάτι γενικότερο. Έστω δύο συναρτήσεις f,g: {A}\to {A} . Έστω B το σύνολο των σταθερών σημείων της g και C το σύνολο των σταθερών σημείων της gog . Αν |C|-|B| \geq 2 , τότε δεν υπάρχει f τέτοια ώστε f(f(x))=g(x) . Παρατηρούμε ότι B \subseteq C . Πράγματι, αν g(...
από Dreamkiller
Πέμ Σεπ 15, 2011 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1064

Ανισότητα στους πραγματικούς

Για κάθε τριάδα πραγματικών a,b,c με ab+bc+ca=3 να αποδείξετε ότι

a^2(a^2-ab-b^2)+b^2(b^2-bc-c^2)+c^2(c^2-ca-a^2) \geq -3
από Dreamkiller
Σάβ Σεπ 10, 2011 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με συνημίτονα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 268

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Έχουμε \forall (a,b) \in R^2 \displaystyle { f(a,b)=|cosa|+|cosb|+|cos(a+b)| \geq |cosa||sinb|+|cosb||sina|+|cos(a+b)| \geq |sin(a+b)| +|cos(a+b)| \geq 1} Τελειώνουμε παρατηρώνοντας ότι ζητούμενη ισοδυναμεί με την f(x,y+z)+f(y,z+x)+f...
από Dreamkiller
Παρ Σεπ 02, 2011 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 336

Re: Μια ανισότητα!

Παρατηρούμε ότι λόγω της συνθήκης τουλάχιστον ένας εκ των a,b,c είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1 . Αν και οι τρεις αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του 1 , πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις a+b \geq a+1 , b+c \geq b+1 και c+a\geq c+1 . Αλλιώς, δύο εξ αυτών, έστω οι a και b , βρίσκονται εκατέρωθεν ή πάνω στο 1 ....
από Dreamkiller
Παρ Ιούλ 22, 2011 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2011
Απαντήσεις: 68
Προβολές: 7239

Re: IMO 2011

Συγχαρητήρια σε όλη την ομάδα και ειδικά στον Γιώργο ο οποίος διέπρεψε! :first: :notworthy:
από Dreamkiller
Πέμ Ιούλ 21, 2011 3:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 268

Re: Ανισότητα

Υψώνοντας στο τετράγωνο και εκτελώντας τις πράξεις παρατηρούμε ότι \displaystyle \sqrt{\frac{a+b}{a^2+6ab+b^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.
Αφού προσθέσουμε κυκλικά τις αντίστοιχες ανισότητες, εφαρμόζουμε την Cauchy Schwarz στο δεξί μέλος και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.
από Dreamkiller
Κυρ Ιούλ 10, 2011 12:19 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυριάκο Συγχαρητήρια!
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1628

Re: Κυριάκο Συγχαρητήρια!

Άπειρα συγχαρητήρια στον Κυριάκο που έσκισε! :winner_first_h4h:
από Dreamkiller
Σάβ Ιούλ 09, 2011 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με πολλές εφαρμογές
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 381

Re: Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

Εάν υποθέσουμε ότι c \leq d , εύκολα βλέπουμε ότι η τετράδα \displaystyle \left(b,\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2},a\right) μεγιστοποιεί (majorizes) ακριβώς μία εκ των τετράδων \displaystyle \left(d,\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right) και \displaystyle \left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση