Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε σχολικά ότι $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1}$; ...μήπως ο "Tolaso J Kos" εννοεί κάτι τέτοιο.... Είναι γνωστό ότι ισχύει ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,x\in R$οπότε ${{e}^{x}}-1\ge x,\,\,x\in R$ και για $x>0$ κοντά στο $0$ ισχύει ότι $1\le \frac{{{...

Για τις διάφορες τιμές του θετικού $a$ , μελετήστε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα , την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a}{x}-ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ ΛΥΣΗ Η συνάρτηση $f$ ορίζεται όταν $1+\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x<-1,\,\,\,x>0$οπότε $\Alpha =(-\infty ,\,0)\cup (1,\,+\infty )$ και είναι...

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right )}$. ΛΥΣΗ Είναι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-{{\sin }^{2}}x}{{{...

Δίνονται οι συναρτήσεις $\varphi (x)=(2-x) e^{-x}-1,x\in \mathbb{R}$ και $ f(x)=(x-1)(e^{-x}-1),x\in \mathbb{R}.$ 1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\varphi$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα $\rho$. β) Να δείξετε ότι ισχύει $\rho =\ln (2-\rho )$ και έπειτα ότι $0<\rho<1/2$. 2. Να μελετήσετε τη συνάρ...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Φιλόξενο, δημιουργικό, χαρισματικό να μεγαλώνεις και συνεχίσεις να δίνεις ότι καλύτερο από τα μέλη σου

στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ για τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!!!!

Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές. Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ; Καλησπέρα :logo: μιά άλλη άποψη και χάριν πλουραλισμού.. Σύμφωνα με τα δεδο...

Καλημέρα silouan
Γίνεται με σχολικά μέσα αφου από την ασύμπτωτη
έχουμε το όριο της f στο +00 και με το Θ.Μ.Τ.
προκύπτει από το Κ.Π. και το όριο της f'

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Συνάδελφε abgd όλα είναι οκ με την απόδειξη που κάναμε στην τάξη και η ύπαρξη του ορίου της παραγώγου βγαίνει με με το κριτήριο παρεμβολής μετα απότην διπλή ανισότητα που προκύπτει για την $f'$ από ΘΜΤ στα διαστήματα [χ-1, χ], [χ,χ+1] και στο παράδειγμα που δίνεται η συνάρτηση αυτή δεν είναι κυρτή.....

Συμφωνώ με τον giannispapav και αυτό το δείξαμε μέσα στην τάξη...
η απάντηση του Μιχάλη όπως πάντα, δίνει την απάντηση στο αρχικό μου ερώτημα
ευχαριστώ σας

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα :logo: 'Όπως πάντα ενδιαφέροντα βγαίνουν μέσα από τις απορίες των μαθητών μας.... έτσι ενώ δείξαμε μέσα στην τάξη ότι το όριο της παραγώγου μιας κυρτής συνάρτησης με ασύμπτωτη στο $y=\lambda x+\kappa $ είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda$ η απορία ...

Καλημέρα συνάδελφε
εκ παραδρομής έγινε και απλά
δεν ξέρω να αλλάξω θέση και να το βάλω στο φάκελλο της ΒΛυκείου
ευχαριστώ

Καλησπέρα :logo: μια ερώτηση σχετικά με το πόσο πλήρης είναι μια απάντηση σε θέμα μονοτονίας Αν η $f:R\to R$ είναι γνήσια μονότονη στο $R$ και τα σημεία $A(1,3)$ και $B(2,\,5)$ ανήκουν στην ${{C}_{f}}$ τότε να βρεθεί το είδος της μονοτονίας. η απάντηση ότι: …αφού $1<2$ με $f(1)=3<5=f(2)$ και επειδή ...

Καλημέρα :logo: Θεωρώ ότι το ελάχιστο που μπορούμε να κάνουμε από εδώ είναι να πούμε ένα τεράστιο ευχαριστώ για μιά ακόμη φορά στην προσφορά του Ν. Μαυρογιάννη... Η πληρότητα και η επιστημονικότητα των θεμάτων που έχει δημοσιευθεί μόνο πλουσιότερους στην μαθηματική γνώση μπορεί να μας κάνει ευχαριστ...

Καλημέρα :logo: θα ήθελα να ρωτήσω την εκλεκτή παρέα αν πλέον νομιμοποιείται με τις επιπλέον προτάσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν οι μαθητές και συγκεκριμένα με το κριτήριο σύγκρισης, η εξής δικαιολόγηση για την ύπαρξη ορίου.... Σε πολλά θέματα χρησιμοποιώντας το Θ.Μ.Τ. για μια f παραγωγίσιμη σε μ...

Καλησπέρα :logo: άρχισαν πάλι να κυκλοφορούν....τα δύσκολα θεωρητικά θέματα προς τους υποψηφίους... ένα από αυτά που σίγουρα θα έχει συζητηθεί και εδώ και το δημοσιεύω για την μαθηματικά του αξία... Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ παραγωγίσιμη με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \ri...

Επίσης θα ήθελα να προσθέσω και εγώ ότι καλό είναι να αποφεύγουμε να θέτουμε τέτοιου είδους ερωτήματα στους μαθητές μας. Γιά μεταξύ μας συζητήσεις είναι χρήσιμες αφού αναδεικνύουν την χρησιμότητα της μαθηματικής λογικής που εγώ τουλάχιστον την πρωτογνώρισα στη Δ Γυμνασίου(!!!) Οι περισσότεροι μαθητέ...

Δεοντολογικά δεν επιτρέπεται η ανάρτηση θέματος σε αρχείο, αλλά αφού υπάρχει ας δούμε την γενίκευση του. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $[a,b]$ . Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, να βρεθεί το σημείο$M(x_0 , f ( x _0 ))$ , με  $a \le x_0 \le b$ , ώστε το εμβαδόν που περικλείεται...

Καλησπέρα σου :logo: ένα απαιτητικό και ενδιαφέρον θέμα που δόθηκε σαν ΘΕΜΑ Γ(!!!) σε μαθητή μου Έστω η συνάρτηση $f:R\to R$με $f(0)=1$.Αν ισχύει ότι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2f(x)-f(-x)-1}{{{x}^{2}}}=4$ τοτε: α) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο σημείο ${{x}_{0}}=0$ β) Να α...

α. Από τη δοσμένη έχω $\frac{f(x)}{x}=sinx+c,x>0$ που για $x=\pi$ δίνει $c=\pi$. Άρα $f(x)=xsinx+cx,x>0$. Επίσης είναι $\frac{f(x)}{x}=sinx+k,x<0$,$f(x)=xsinx+kx,x<0$ και παίρνοντας όρια λόγω συνέχειας στο 0 είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)\Rightarrow f(0)=0.$ Λόγω παρ/τας της f στo 0 είνα...

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ ώστε να ισχύει $\displaystyle x({f}'(x)-x\cos x)=f(x)$, για κάθε $\displaystyle x\in R$ και $\displaystyle f(\pi )={{\pi }^{2}}$ α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης για κάθε $\displaystyle x\in R$. β) Αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle f(x)=x\sin x+\pi x$...