Δίδεται η παραβολή με εξίσωση . Να βρεθεί η ευθεία της δέσμης που ορίζει η εξίσωση


η οποία είναι εφαπτόμενη στην υπερβολή.

Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή $xy-1=0$. Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2...

Η εφαπτόμενη και η κάθετη αυτής στο σημείο της παραβολής τέμνουν τον άξονα στα σημεία και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το περίκεντρο του τριγώνου είναι σταθερό (ανεξάρτητο του ).

Λύθηκε η απορία μου: διεθύνων κύκλος (director circle).

Πώς μεταφράζεται στα Ελληνικά ο όρος director circle of an ellipse;

Επαναφορά.

Επαναφορά για μία πλήρη απόδειξη.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους κύκλους και .

Δίδονται οι ευθείες και . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα και αποκόπτει από την ευθεία χορδή μήκους .

Για κάθε $n \geq 1$ ορίζουμε την ακολουθία $\displaystyle{x_n = \int_{0}^{1} \ln \left ( 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \right ) \ln \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} x_n =2 $. Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \fra...

Venizelos έγραψε: ↑

Τετ Απρ 17, 2024 6:42 pm

Έστω δύο συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού, το Α. Ισχύει:



Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λάθος. Θεώρησε και για κάθε .

1) Έστω $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int\limits_{a}^{b}\frac{f\left ( x \right )}{3+2\cos \left ( nx \right )}dx=\frac{3\sqrt{5}}{10}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{\left ( e^{x} +x+1\right )^{2}...

(Ιστορική εξέλιξη των φόρουμ) Η περίοδος "δημιουργίας και ανάπτυξης" (1995-2010) των φόρουμ στο διαδίκτυο, παγκόσμια, βασίστηκε σε μεγάλο βαθμό στην εθελοντική εργασία πολλών, ικανότατων και εφευρετικών ανθρώπων, που συμμετείχαν, πολλές φορές, με μεγάλο ενθουσιασμό και αφοσίωση. Το mathematica.gr ή...

Έστω . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Να δειχθεί ότι η εξίσωση



παριστάνει κύκλο διὰ για κάθε ο οποίος διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

Βρέθηκε το culprit. Είχα γράψει

Το σημείο είναι μία κορυφή ενός τετραγώνου του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται στην ευθεία . Να υπολογιστεί το εμβαδόν του και οι κορυφές του.

Δίδεται η ευθεία $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} =1$ με $\alpha, \beta>0$ και $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ τα σημεία τομής της με τους άξονες $\mathrm{O}x$, $\mathrm{O}y$ αντίστοιχα. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και οι οποίες τριχοτομούν το $\mathrm{AB...