Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία. Όχι μόνο. Η εύρεση των συναρτήσεων με $f'(x)=f(x)$ για κάθε $x$ βρίσκεται σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού και επίσης όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσ...

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους! Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για $x \geq 0$: $f'(x)=f(x) \; \; \; \; (1)$ $f(0)=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$ Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο $\math...

Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$ Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ . Από την $a+a^{-1} > 2$ για $a>0$, έχουμε $e^x+e^{-x} >2$ για $x>0$. Ολοκληρώνουμε τώρα από $0$ έως $X>0$. Θα βρούμε $e^X-e^{-X} >2X$, που ισοδυναμεί με την ζητούμε...

Ωραία άσκηση για έναν πρωτάρη μαθητή, αλλά δεν βλέπω τι σχέση έχει με Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Είναι άμεσο ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με το τετράγωνο πλευράς μείον δύο τεταρτοκύκλια ακτίνας . Δίνει

Θα βρείτε μερικούς ωραίους γρίφους εδώ . Ο συγγραφέας, ο Carlo de Grandi, είναι μεταξύ άλλων δεινός κατασκευαστής προβλημάτων σκακιού. Για όσους τυχαίνει να μην τον γνωρίζουν, αντιγράφω ένα σύντομο βιογραφικό του από το 24grammata.com Ο Carlo de Grandi γεννήθηκε στη Βενετία το 1948. Σπούδασε πληροφο...

Ευχαριστούμε. Είναι ωραίο και καλογραμμένο άρθρο και σίγουρα χρήσιμο σε κάποιον ο οποίος πρωτογνωρίζει την Θεωρία Μέτρου, το οποίο είναι μάθημα που διδάσκεται στα μεγάλα εξάμηνα ενός πτυχίου Μαθηματικών. Ας κάνω δύο σχόλια. α) Η κατασκευή που δίνει υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου...

Επισυνάπτω ένα άρθρο του αρχαιολόγου-νομισματολόγου Γιάννη Στόγια όπου αναφέρεται στον Βυζαντινό Μαθηματικό Νικόλαο Αρτάβασδο ή Ραβδά (14ος αι.) σχετικά με ένα πρόβλημα μείξης της Αριθμητικής. Το πρόβλημα είναι η παλαιότερη πηγή που γνωρίζω για προβλήματα μείξης. Το ίδιο το άρθρο αφορά Νομισματολογί...

Νομίζω ότι η λύση στο πρόηγούμενο ποστ είναι προβληματική γιατί η άσκηση αναφέρεται σε Η συνάρτηση του σχήματος είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $[1,3]$ ενώ στην λύση εξειδικεύεται στην συγκεκριμένη συνάρτηση iii. $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{2}, ~ x \in\mathbb{R}^+$ Από την άλλη, η λύση εμπε...

Ε Υ Γ Ε στα παιδιά.

Τα θέματα είναι πολύ δύσκολα, οπότε η εξαιρετική μαθηματική δεινότητα των παιδιών είναι πρόδηλη. Ότι και να πω είναι λίγο. ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ.

Σπύρο, ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ.

Το βιβλίο το περίμενα με πολύ χαρά από τότε που το έγραφες καθώς μου είχες δείξει την τότε μορφή του. Με την ολοκλήρωσή του έχουμει σήμερα στα χέρια μας ένα πλούσιο και εμβριθέσταρο έργο. Να 'σαι καλά.

edit: Μάλλον θα εννοείτε την γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των καμπυλών στο σημείο. Αν είναι έτσι είναι άσκηση ρουτίνας. Ναι, αυτός είναι ο ορισμός την γωνίας δύο τεμνόμενων λείων καμπυλών. Για την ιστορία, στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχει η έννοια των "μεικτόγραμμων γωνιών". Ειδικά όταν η ...

Αναζητείται η γωνία φ του σχήματος. Η εξίσωση της καμπύλης δίνεται στο σχήμα. Επειδή δεν είναι θέμα για Α.Ε.Ι. ούτε θέμα Γεωμετρίας (όπως δηλώνει ο φάκελος) αλλά απλό θέμα ρουτίνας Απειροστικού Λυκείου, θα δώσω μόνο εκτενή υπόδειξη για να την χαρούν οι μαθητές μας. Είναι λίγο ευκολότερο, αν μιλάμε ...

19) Να υπολογιστεί το $\int_{0}^{\infty}\frac{logx}{(1+x^2)^2} dx$. Αλλιώς: H αλλαγή μεταβλητής $ t=1/s$ δίνει $\displaystyle{I =\int_{0}^{\infty}\frac{\log t}{1+t^2}dt= -\int_{0}^{\infty}\frac{-\log s}{1+\frac {1}{s^2}} \dfrac {ds}{-s^2} = - \int_{0}^{\infty}\frac{\log s}{1+s^2}ds= -I}$ άρα $\disp...

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx $ Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτησ...

Κουραστική διασκέδαση.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , έχει κάθετες πλευρές $AB=6$ και $AC=8$ . Σχεδιάστε το ορθογώνιο $AKLM$ και το ισεμβαδικό του τετράγωνο $MSPT$ . Αν $a$ η πλευρά του τετραγώνου και $b,h$ οι διαστάσεις του ορθογωνίου (όπου $h$ το ύψος) έχουμε α) $a^2=bh$, β) από την ομοιότητα του...

Να αποδειχθεί ότι το όριο $\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu \frac{1}{x}$ δεν υπάρχει. ... Για να περάσουμε στο δια ταύτα, μια αποδεκτή λύση για την παρούσα θα πρέπει να συμμορφώνεται με το ακόλουθο πρότυπο: #1 . Να χρησιμοποιεί αποκλειστικά θεωρήματα και ιδιότητες που είναι διαθέσιμα σε έναν υποψήφιο τ...

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $k$ , βρείτε ( προσεκτικά ! ) , το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : $|x^2-6x+5|=k$ . . Είναι εποπτικότερο να εργαστούμε με το γράφημα της δοθείσας: Η $y=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ είναι παραβολή που τέμενει τον άξονα των $x$ στα $x=1,x=5$. Στο διάστημα $(1,5)$ παίρν...

Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f$ δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο $\displaystyle A({{x}_{0}},f({{x}_{o}}))$, τότε είτε η $\displaystyle {{C}_{f}}$ έχει σημείο καμπής το $\displaystyle A$ είτε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για $\displaystyle x={{x}_{0}}$. Λανθασμένο. Το στάνταρ παρ...

Για την πρώτη περίπτωση σκεφτηκα το εξής, αν είναι σωστό αναλόγως πάει για τα υπόλοιπα. Πέρα από το γεγονός ότι οι κανονισμοί μας απαγορεύουν ρητά την ανάρτηση χειρογράφου, και κανονικά οι Γενικοί Συντονιστές πρέπει να διαγράψουν το ποστ σου και το παρόν μήνυμα που απαντά σε αυτό, ο συλλογισμός είν...

Έστω, $r\in\mathbb{Z}^+-\{1\}$ και η (τηλεσκοπική) σειρά : $\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$ i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση $r$ . ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από...