1315

socrates έγραψε: Άσκηση 1315
α) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε ο αριθμός $\displaystyle{|a^3b + b^3c + c^3a|}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Να δείξετε ότι το σύνολο των ακεραίων $\Bbb{Z}$ μπορεί να γραφεί ως ένωση ξένων ανά δύο συνόλων $A_n, \ n=1,2,...$ καθένα από τα οποία αποτελείται από 3 στοιχεία ${a_n, b_n, c_n},$ έτσι ώστε ο αριθμός $\displaystyle{ |a_n^3b_n + b_n^3c_n + c^3_na_n|}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

(α) Παρατηρώ ότι αν πάρω c = -(a+b)

τότε $\displaystyle{ |a^3b + b^3c + c^3a| = \cdots = (a^2+ab + b^2)^2}$

Πως το βρήκα: Για a=1,b=2

βρήκα στο χέρι (κοιτάζοντας μικρούς αριθμούς) ότι το c=-3

μας κάνει. Μετά για a=1,b=3

βρήκα ότι το c=-4

μας κάνει. Η υποψία ότι η τριάδα (1,b,-1-b)

μας κάνει βγήκε αληθινή: Το αποτέλεσμα ήταν b^4 + 2b^3 + 3b^2 + 2b + 1

. Αν αυτό ήταν τέλειο τετράγωνο (αυτό ελπίζουμε) με τι άλλο θα μπορούσε να ισούται εκτός από (b^2+b+1)^2

; Ευτυχώς όντως ισούται με αυτό.

Η επόμενη υποψία είναι ότι η τριάδα (a,b,-a-b)

επίσης μας κάνει και ότι δίνει (a^2+ab+b^2)

βγαίνει επίσης σωστή.

(β) Βάζω τους ακεραίους σε μια οποιαδήποτε διάταξη. Π.χ. την $0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\cdots$ αλλά οποιαδήποτε άλλη σειρά θα δουλέψει. Έστω ότι έχω ήδη επιλέξει τα $\{a_1,b_1,c_1\},\ldots,\{a_k,b_k,c_k\}$ . Τότε επιλέγω το $\{a_{k+1},b_{k+1},c_{k+1}\}$ ως εξής: Για το $a_{k+1}$ παίρνω το πρώτο στοιχείο της διάταξης που δεν έχω χρησιμοποιήσει. Όταν επιλέξω το $b_{k+1}$ μετά θα επιλέξω $c_{k+1} = -(a_{k+1}+b_{k+1})$ . Αυτό θα ικανοποιεί την συνθήκη το $\displaystyle{ |a_n^3b_n + b_n^3c_n + c^3_na_n|}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου για n = k+1

. Όμως πρέπει να προσέξω ώστε τα $b_{k+1},c_{k+1}$ να μην έχουν ήδη επιλεχθεί. Όμως υπάρχει πεπερασμένος αριθμός κακών επιλογών: Πρέπει καταρχήν το $b_{k+1}$ να μην έχει ήδη επιλεχθεί (υπάρχουν 3k+1

κακές επιλογές) και επιπλέον πρέπει το $-(a_{k+1}+b_{k+1})$ επίσης να μην έχει επιλεχθεί. Υπάρχουν το πολύ 3k+1

κακές επιλογές. Παίρνουμε λοιπόν την πρώτη μη κακή επιλογή.

Π.χ. με την πιο πάνω διάταξη οι τριάδες που επιλέγω είναι οι

$\{0,1,-1\},\{2,3,-5\},\{-2,-3,5\},\{4,6,-10\},\{-4,-6,10\},\{7,8,-15\},\ldots$

Έτσι εγγυώμαι ότι οι τριάδες είναι ξένες μεταξύ τους, ότι οι αριθμοί που θέλω να είναι τέλεια τετράγωνα όντως είναι και τέλος ότι όλοι οι ακέραιοι έχουν χρησιμοποιηθεί. (Αφού ο ακέραιος που βρίσκεται στην θέση

θα πρέπει σίγουρα να επιλεγεί σε κάποιο A_n

με $n \leqslant i$ .)

Άσκηση 1305
Αν η εξίσωση ax^2+bx+8=0

δεν έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης 4a+b

.

Άσκηση 1306
Αν

$\displaystyle{S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}}$ ,

και

$\displaystyle{T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+...+\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}}$ .

να γράψετε σε ανάγωγη μορφή το κλάσμα $\displaystyle \frac{S}{T}$ .

Άσκηση 1307
Αν a, b, c, d

μη αρνητικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{cd} \leq \sqrt[3]{(a + c + b) (a + c + d)}.}$

Άσκηση 1308
Αν a,b

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα

τότε να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 4.}$
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=51360

Άσκηση 1309
Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{xyz+1=2^{y^2+1}.}$

Άσκηση 1310
Έστω

ένας θετικός ακέραιος και 1 = d_1 < d_2 < d_3 < ... < d_k = n

οι διαιρέτες του.
Αν ισχύει d^2_3 + d^2_4 = 2n + 1,

να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

Άσκηση 1311
Να προσδιορίσετε όλους τους ακέραιους αριθμούς $n, \ n\geq 2$ , για τους οποίους οι αριθμοί $1!,2!,3!,\cdots, (n-1)!$ διαιρούμενοι δια

αφήνουν διαφορετικά υπόλοιπα.
viewtopic.php?f=109&t=7328

Άσκηση 1312
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν στη μορφή

$\displaystyle{\left\lfloor \frac{a+b}{c} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{b+c}{a} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{c+a}{b} \right\rfloor}$

όπου a,b,c

θετικοί ακέραιοι.

Άσκηση 1313
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε μια $N\times N$ σκακιέρα, χρησιμοποιώντας

χρώματα, έτσι ώστε κουτάκια με κοινή πλευρά να χρωματίζονται με διαφορετικά χρώματα και κάθε $2\times 2$ τετράγωνο χρωματίζεται και με τα τέσσερα χρώματα.
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=46881

Άσκηση 1314
Δέκα μαθητές αριθμημένοι από το

μέχρι το

κάθονται, με τυχαίο τρόπο, σε ένα στρογγυλό τραπέζι. Στη συνέχεια, κάθε μαθητής λαμβάνει έναν αριθμό, που είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού που έχει και των αριθμών των δύο μαθητών που κάθονται δίπλα του.
Να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές θα λάβει αριθμό μεγαλύτερο του 17.

Άσκηση 1315
α) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους a,b

υπάρχει ακέραιος

τέτοιος ώστε ο αριθμός $\displaystyle{|a^3b + b^3c + c^3a|}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Να δείξετε ότι το σύνολο των ακεραίων $\Bbb{Z}$ μπορεί να γραφεί ως ένωση ξένων ανά δύο συνόλων $A_n, \ n=1,2,...$ καθένα από τα οποία αποτελείται από 3 στοιχεία ${a_n, b_n, c_n},$ έτσι ώστε ο αριθμός $\displaystyle{ |a_n^3b_n + b_n^3c_n + c^3_na_n|}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Άσκηση 1316
(α) Να εξετάσετε αν το σύνολο των θετικών ακεραίων $\Bbb{Ν}$ μπορεί να γραφεί ως ένωση ξένων ανά δύο συνόλων $A_n, \ n=1,2,...$ καθένα από τα οποία αποτελείται από 2 στοιχεία και το άθροισμα των στοιχείων του συνόλου A_i

να είναι

για κάθε

(β) Να εξετάσετε αν το σύνολο των θετικών ακεραίων $\Bbb{Ν}$ μπορεί να γραφεί ως ένωση ξένων ανά δύο συνόλων $A_n, \ n=1,2,...$ καθένα από τα οποία αποτελείται από 2 στοιχεία και το άθροισμα των στοιχείων του συνόλου A_i

να είναι

για κάθε

Άσκηση 1317
Θεωρούμε ένα $10\times 10$ πίνακα.Σε κάθε κίνηση τοποθετούμε από ένα νόμισμα στα 4 τετραγωνάκια που σχηματίζονται από την τομή δυο (όχι απαραίτητα διαδοχικών) σειρών με δυο (όχι απαραίτητα διαδοχικές) στήλες.Μια κίνηση μπορεί να γίνει αν τουλάχιστον ένα από τα 4 τετράγωνα δεν έχει νομίσματα.Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός κινήσεων που μπορούν να γίνουν αν στην αρχή δεν υπάρχουν νομίσματα στον πίνακα.
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=49811

Φερμά_96 έγραψε:Για την 25
έχουμε ότι $0=(a+b)^{2}-4(a+b)x+c^{2}+4=(a+b-2)^{2}+c^{2}$
είναι γνωστό ότι τα τετράγωνα είναι είτε μεγαλύτερα είτε ίσα του . Οπότε το άθροισμα τετραγώνων είναι 0 αν και μόνο αν κάθε τετράγωνο είναι ίσο με μηδέν.
οπότε και
θετικοί ακέραιοι, και άρα

Για την 26
ο αριθμός των πολλ. του που είναι μικρότερα του είναι το ακέραιο μέρος της , που είναι .
Αντίστοιχα, τα πολλ. του που είναι μικρότερα του είναι .
επειδή , έχουμε ότι το άθροισμα των αριθμών των πολλαπλασίων του και του που είναι μικρότερα του είναι .
Οπότε οι αριθμοί που δεν είναι πολλ. του ή του είναι .