mathematica.gr

socrates έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 574
Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτοι ώστε

Λοιπόν παίρνοντας mod 3, έχουμε ότι $p^2+q^2\equiv n^2\pmod 3$ . Αυτό για να συμβαίνει πρέπει ένας από τους p,q να διαιρείται από 3, άρα είναι ίσος με 3. Έστω p=3

. Τότε παραγοντοποιώντας έχουμε (n-p)(n+p+3)=18.

Το υπόλοιπο είναι ρουτίνα.
Παίρνουμε τις λύσεις $(n,p)\in\{(8,7),(4,2)\}$

Επαναφέρω τις άλυτες για ευκολία

ΑΣΚΗΣΗ 545
Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{1}{852}+\frac{1}{853}+...+\frac{1}{2544}= 1+\frac{2}{2*3*4}+\frac{2}{5*6*7}+...+\frac{2}{2552*2553*2554} .}$

ΑΣΚΗΣΗ 552
Αν $a,b,c\in [0,1]$ τότε $\displaystyle{1 \leq a + b + c + 2(ab + bc + ca) + 3(1- a)(1- b)(1- c) \leq 9.}$ Πότε έχουμε ισότητα;

ΑΣΚΗΣΗ 562: Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2}$ , είναι ρίζες των εξισώσεων $\displaystyle{x^2 -ax+b=0}$ , και

$\displaystyle{x^{2n}-a^{n}x^{n}+b^{n}=0}$ , όπου $\displaystyle{n\epsilon N^{*}}$ και $\displaystyle{b\neq 0}$ , τότε: $\displaystyle{(x_{1}+x_{2})^{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}}$

ΑΣΚΗΣΗ 572
Αν ο πρώτος αριθμός

γράφεται στη μορφή x^5-y^5

όπου

ακέραιοι, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac{4p+1}{5}}=\frac{v^2+1}{2}}$ για κάποιον περιττό

ΑΣΚΗΣΗ 574
Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (p,q,n)

όπου

πρώτοι ώστε p(p + 3) + q(q + 3) = n(n + 3).

ΑΣΚΗΣΗ 575
Να λυθεί η εξίσωση (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 720.

ΑΣΚΗΣΗ 578
Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} y^2 = (x + 8)(x^2 + 2)\\ y^2 = (8 + 4x)y + 5x^2 -16x -16 \end{cases}}$

ΑΣΚΗΣΗ 579
Υπάρχουν ακέραιοι x, y

και

ώστε

αν
(α)

(β)

;

ΑΣΚΗΣΗ 580
Βρείτε τους πρώτους

και

ώστε ο

να διαιρεί τον q + 6

και ο

τον

ΑΣΚΗΣΗ 581
Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός 2007!

; Ποιο το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του;

ΑΣΚΗΣΗ 583
Βρείτε τον ελάχιστο

για τον οποίο ο αριθμός 2010

μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα

τετραγώνων ακεραίων.

AΣΚΗΣΗ 368
Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου κουτιού με όγκο V>1000

και με μήκη πλευρών ακέραιοι αριθμοί.

ΑΣΚΗΣΗ 226
Δίνεται τρίγωνο ABC

και σημείο

στο εσωτερικό του. Θεωρούμε

το σημείο τομής της

με την

(συμβολικά: $D \equiv CP \cap AB$ ) και
$E \equiv BP \cap AC$ .
Αποδείξτε μία ειδική περίπτωση (βασικώτατη) του θεωρήματος του Miquel:
Αν το τατράπλευρο ADPE

είναι εγγράψιμμο σε κύκλο τότε το άλλο σημείο τομής

των δύο κύκλων θα είναι σημείο της BC.

edit: Μπορείτε να διατυπώσετε τό αντίστροφο τού παραπάνω προβλήματος και να το επιλύσετε;

ΑΣΚΗΣΗ 358 :Θεωρούμε το σύνολο $A=\left\{1,2,3,...,100 \right\}$ καθώς και τα υποσύνολα αυτού :

$B=\left\{b_{1},b_{2},...,b_{50} \right\}$ , όπου $b_{1}<b_{2}<...<b_{50}$ και

$C=\left\{c_{1},c_{2},...,c_{50} \right\}$ , όπου $c_{1}>c_{2}>...>c_{50}$

Να αποδειχθεί ότι :

$\left|b_{1}-c_{1} \right|+\left|b_{2}-c_{2} \right|+...+\left|b_{50}-c_{50} \right|=2500$

ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα σύνολα B,C

είναι ξένα μεταξύ τους {Ευχαριστώ τον Παύλο για την επισήμανση}

ΑΣΚΗΣΗ 588: Δείξτε ότι:

$\displaystyle{\frac{5}{1.3}+\frac{6}{2.4}+\frac{7}{3.5}+ . . . +\frac{104}{100.102}>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ . . . +\frac{1}{340}}$

ΑΣΚΗΣΗ 616
Έστω a,b,c

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε a|b^5, b|c^5

και

. Δείξτε ότι $abc|(a+b+c)^{31}$ .

ΑΣΚΗΣΗ 623
Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς

για τους οποίους η εξίσωση |x+|x|+a|+|x-|x|-a|=2

έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

ΑΣΚΗΣΗ 626
Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς

για τους οποίους η εξίσωση x^2+ (a − 2)x + 1 = 3|x|

έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

ΑΣΚΗΣΗ 627
Έστω

ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί 2n+1

και

να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός 5n+3

είναι σύνθετος.

ΑΣΚΗΣΗ 629
Ποιος ο μέγιστος αριθμός σημείων που μπορούμε να τοποθετήσουμε στο εσωτερικό και την περιφέρεια μοναδιαίου τετραγώνου ώστε να μην υπάρχουν σημεία που απέχουν λιγότερο από 1/2;

ΑΣΚΗΣΗ 639
Στον πίνακα είναι γραμμένοι 6 διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Δύο μαθητές, ο Α και ο Β, υπολογίζουν όλα τα αθροίσματα μεταξύ δύο από αυτούς τους αριθμούς.
Ο Α παρατηρεί ότι υπάρχουν ακριβώς 10 πρώτοι ανάμεσα σ' αυτά τα αθροίσματα ενώ ο Β 9 πρώτοι αριθμοί.
Ποιος έχει δίκιο; Βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών.

ΑΣΚΗΣΗ 571
Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{2^n = a ! + b ! + c !.}$

ΑΣΚΗΣΗ 572
Αν ο πρώτος αριθμός

γράφεται στη μορφή x^5-y^5

όπου

ακέραιοι, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac{4p+1}{5}}=\frac{v^2+1}{2}}$ για κάποιον περιττό

ΑΣΚΗΣΗ 573
Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης y^2 + 2y = x^4 + 20x^3 + 104x^2 + 40x + 2003.

ΑΣΚΗΣΗ 574
Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (p,q,n)

όπου

πρώτοι ώστε p(p + 3) + q(q + 3) = n(n + 3).

ΑΣΚΗΣΗ 575
Να λυθεί η εξίσωση (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 720.

ΑΣΚΗΣΗ 576
Προσδιορίστε τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p, q)

με $2 \leq p, q < 100,$ ώστε οι αριθμοί p + 6, p + 10, q + 4, q + 10

και

να είναι επίσης πρώτοι.

ΑΣΚΗΣΗ 577
Δείξτε ότι ο αριθμός $2005^{2005}$ γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων αλλά όχι ως άθροισμα δύο κύβων ακεραίων.

ΑΣΚΗΣΗ 578
Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} y^2 = (x + 8)(x^2 + 2)\\ y^2 = (8 + 4x)y + 5x^2 -16x -16 \end{cases}}$

ΑΣΚΗΣΗ 579
Υπάρχουν ακέραιοι x, y

και

ώστε

αν
(α)

(β)

;

ΑΣΚΗΣΗ 580
Βρείτε τους πρώτους

και

ώστε ο

να διαιρεί τον q + 6

και ο

τον

ΑΣΚΗΣΗ 581
Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός 2007!

; Ποιο το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του;

ΑΣΚΗΣΗ 582
Έστω p_1, p_2, p_3

και

πρώτοι, διαφορετικοί ανά δύο, τέτοιοι ώστε
2p_1 + 3p_2 + 5p_3 + 7p_4 = 162

Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του γινομένου p_1p_2p_3p_4.

ΑΣΚΗΣΗ 583
Βρείτε τον ελάχιστο

για τον οποίο ο αριθμός 2010

μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα

τετραγώνων ακεραίων.

Η αναζήτηση βρήκε 3 εγγραφές: 574

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο