mathematica.gr

socrates έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 833
Θέλουμε να βρούμε σύνολα $A_1, A_2,...,A_n \subset\{1,2,...,100\}$ τριών στοιχείων τέτοια ώστε για κάθε $1\leq a<b\leq 100$ να υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο με $\{a, b \} \subset A_i.$ Είναι αυτό δυνατό;

Διόρθωση λανθασμένης απάντησης

Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς

σύνολα

τα οποία περιέχουν το

. Κάθε

με $2 \leqslant n \leqslant 100$ ανήκει σε ακριβώς ένα από αυτά. Επιπλέον κάθε τέτοιο A_i

περιέχει ακριβώς δύο τέτοια

. Άρα

, άτοπο.

ΑΣΚΗΣΗ 826
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις (x,y)

της εξίσωσης $\sqrt{x-1} +\sqrt{y-1} +2 = \sqrt{x+1} +\sqrt{y+1}.$

ΑΣΚΗΣΗ 827
Να λυθεί στο $\Bbb{ R}$ το σύστημα

$\begin{cases} 1 + x^4\le 2(y - z)^2 \\ 1 + y^4\le 2(z - x)^2 \\ 1 + z^4\le 2(x - y)^2 \end{cases}$

ΑΣΚΗΣΗ 828
Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους x,y

τέτοιους ώστε ο αριθμός $\displaystyle{2x^2y+xy^2+8x}$ να διαιρείται από τον xy^2+2y.

ΑΣΚΗΣΗ 829
Να λυθεί η εξίσωση $5^n-3^k=m^2 , \ ,m,n \in \Bbb{Z}.$

ΑΣΚΗΣΗ 830
Να προσδιορίσετε όλους τους τετραψήφιους θετικούς ακεραίους $n=\overline{ abcd}$ , που είναι ίσοι με το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακεραίων δύο εκ των οποίων είναι πρώτοι και οι αριθμοί $\overline{cd}, \overline{ ab}$ είναι διαδοχικοί.

ΑΣΚΗΣΗ 831
Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους

τέτοιους ώστε ο αριθμός $2^{17}+17\cdot 2^{12}+2^n$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ 832
Έστω $n\ge 2$ ένας ακέραιος και x_1, x_2, ... , x_n

μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x_1+...+x_n=0

.
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακέραιοι $1 \le i,j \le n$ , διαφορετικοί μεταξύ τους, τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \left| \frac{x_i}{x_j} \right| \le 2 }$

ΑΣΚΗΣΗ 833
Θέλουμε να βρούμε σύνολα $A_1, A_2,...,A_n \subset\{1,2,...,100\}$ τριών στοιχείων τέτοια ώστε για κάθε $1\leq a<b\leq 100$ να υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο A_i

με $\{a, b \} \subset A_i.$ Είναι αυτό δυνατό;

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 808:
Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , ο αριθμός δε διαιρείται από τον

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 810:
Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής $\frac{1}{11} \cdot \underbrace{11\ldots 1}_{2n \textrm{ ones}}$ , όπου θετικός ακέραιος.

Η αναζήτηση βρήκε 2 εγγραφές: 833

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο