Θα αποδείξω το γενικότερο: για όλους τους φυσικούς .
Παρατηρούμε ότι . Αυτό είναι προφανές αφού και επειδή ο είναι ο ελάχιστος αριθμός με αυτήν την ιδιότητα.
Άρα .
Η αναζήτηση βρήκε 261 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Οκτ 27, 2010 11:27 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Θεωρία Αριθμών
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 419
- Τρί Οκτ 26, 2010 3:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ανισότητα!
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 503
Re: Ανισότητα!
Από την Cauchy Schwarz έχουμε:
.
Επομένως έχουμε ότι
.
Από την ΑΜ-ΓΜ προκύπτει το ζητούμενο.
Μου ξεφεύγει κάτι;
.
Επομένως έχουμε ότι
.
Από την ΑΜ-ΓΜ προκύπτει το ζητούμενο.
Μου ξεφεύγει κάτι;
- Κυρ Οκτ 24, 2010 5:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
- Απαντήσεις: 173
- Προβολές: 23328
Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)
Για να δούμε. Θα αποδείξω με μια σειρά βημάτων ότι $f(2010)=3483$. 1. H $f$ είναι επί των πολλαπλασίων του $3$. Πράγματι, έστω $3m$, με $m \in N^{\star}$. Τότε υπάρχει $n \in N^{\star}$ τέτοιο ώστε $f(n)=3m$. Συγκεκριμένα, $n=m$. 2. $\forall n \in N^{\star}, f(n) \geq n+1$. Πράγματι, έστω ότι υπάρχε...
- Κυρ Οκτ 24, 2010 3:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
- Απαντήσεις: 173
- Προβολές: 23328
Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)
Μήπως η απάντηση είναι 3843;cretanman έγραψε:Άσκηση 23
Μία πολύ ενδιαφέρουσα συναρτησιακή που μόλις βρήκα.
Αν είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με , να βρείτε το .
Αλέξανδρος
Νομίζω έχω μία λύση αλλά είναι αρκετά μεγάλη...
- Παρ Οκτ 22, 2010 10:18 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
- Θέμα: Εύρεση τύπου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 564
Re: Εύρεση τύπου
Αν $w=1$ τότε ισχύει. Aλλιώς: Θέτω όπου $z$ το $zw$ και παίρνω $f(zw) +f(zw^2)=zw.$ Θέτω όπου $z$ το $zw^2$ και παίρνω $f(zw^2)+f(z)=zw^2$. Προσθέτω αυτές τις δύο σχέσεις με την αρχική και παίρνω $f(z)+f(zw)+f(zw^2)=0.$ Αφαιρώντας από αυτήν την πρώτη σχέση που βρήκα $f(z)=-wz.$ Αλλά $\displaystyle -...
- Παρ Οκτ 22, 2010 10:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
- Θέμα: Το πιο δύσκολο παιχνίδι του κόσμου (κυριολεκτικά)...
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 3844
- Τρί Οκτ 19, 2010 8:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ακόμη μία ανισότητα...!!!
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 824
Re: Ακόμη μία ανισότητα...!!!
Λόγω της σχέσης των μεταβλητών υπάρχει τρίγωνο ABC, με $tanA=a$,$tanB=b$, $tanC=c$. Επειδή $\displaystyle tan^2x+1=\frac{1}{cos^2x}$, το αριστερό μέλος γίνεται $|cosA|+|cosB|+|cosC|$. Αν υπάρχει μία αμβλεία γωνία, έστω η $A$, τότε $|cosA|=-cosA=cos(\pi-A)$. Άρα θεωρούμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο...
- Τρί Οκτ 19, 2010 8:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Εύρεση ακεραίων!
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 209
Re: Εύρεση ακεραίων!
Από την ανισότητα Cauchy Schwarz: $\displaystyle 1=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{k_j} \geq \frac{n^2}{ \sum_{j=1}^{n}k_j}=\frac{n^2}{5n-4}$. Άρα $1 \leq n \leq 4$, εφόσον ο $n$ είναι φυσικός. Αν $n=1$ τότε $k=1$. Αν $n=2$ τότε, λύνοντας το σύστημα, δεν βρίσκουμε λύση. Αν $n=3$ τότε, θεωρώντας πως $k_1\geq ...
- Τρί Οκτ 19, 2010 3:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Τριγωνομετρία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 317
Re: Τριγωνομετρία
Κοιτάξτε κι εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 234#p49234.
- Σάβ Οκτ 16, 2010 11:09 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Σαν γενίκευση του Rolle
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 536
Re: Σαν γενίκευση του Rolle
Ακριβώς αυτό είναι Κώστα.
- Σάβ Οκτ 16, 2010 9:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Σαν γενίκευση του Rolle
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 536
Σαν γενίκευση του Rolle
Κάτι που παρατήρησα πριν από λίγο. Ελπιζω να μην είναι τίποτα χιλιοειπωμένο.
Έστω συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , με . Να δείξετε ότι υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε .
Έστω συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , με . Να δείξετε ότι υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε .
- Πέμ Οκτ 14, 2010 2:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: min παράστασης ριζών-τετραγώνων
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 440
Re: min παράστασης ριζών-τετραγώνων
Σύμφωνα με την ανισότητα Minkowski: $\displaystyle \sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \sqrt{\left( a+b+c \right)^2+\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\geq \sqrt{1+9^2}=\sqrt{82}$, με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$. Χρησιμοποίηθηκε και η ανισότητα $\displ...
- Τετ Οκτ 13, 2010 11:31 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Διοφαντική μάλλον ζόρικη
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 724
Re: Διοφαντική μάλλον ζόρικη
Είχα ασχοληθεί με αυτό το πρόβλημα αλλά δεν είχα καταφέρει κάτι.
Προσπαθούσα πάντως να το λύσω φράζοντας το μεταξύ συναρτήσεων του και γενικά με τέτοιους τρόπους.
Προσπαθούσα πάντως να το λύσω φράζοντας το μεταξύ συναρτήσεων του και γενικά με τέτοιους τρόπους.
- Σάβ Οκτ 09, 2010 8:29 pm
- Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- Θέμα: Χρησιμοτητα bolzano
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1060
Re: Χρησιμοτητα bolzano
Με το Bolzano μπορείς να προσδιορίσεις τις ρίζες με οσοδήποτε καλή προσέγγιση με την μέθοδο των εγκιβωτισμένων διαστημάτων (μέσω αυτής γίνεται και η απόδειξή του). Θες τις ρίζες της $f$ στο $[a,b]$. Αν υπάρχει μία ρίζα, τότε ελέγχεις στα $\displaystyle [a,\frac{a+b}{2}]$ και $\displaystyle [\frac{a+...
- Παρ Οκτ 08, 2010 10:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Βιβλία - όχι σχολικά - για Μαθηματικούς .Τι προτείνετε ;
- Απαντήσεις: 26
- Προβολές: 3731
Re: Βιβλία - όχι σχολικά - για Μαθηματικούς .Τι προτείνετε ;
Νομίζω ότι το Logicomix δεν μπορεί να λείπει από καμία τέτοια λίστα. Εντάξει, δεν έχει πολλά μαθηματικά μέσα, αλλά είναι φοβερό.
Η βιογραφία του Galois από τις εκδόσεις Τραυλός ήταν επίσης πολύ ωραία.
Η βιογραφία του Galois από τις εκδόσεις Τραυλός ήταν επίσης πολύ ωραία.
- Παρ Οκτ 08, 2010 6:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα για Λύκειο - Seniors
- Θέμα: Κανονικό πολύγωνο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 545
Re: Κανονικό πολύγωνο
Για το δεξί μέλος: $\displaystyle {\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MA_j}| =\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MO} +\overrightarrow{OA_j}| \leq \sum_{j=1}^{n} |\overrightarrow{OM}| + |\overrightarrow{OA_j}|=n(R+OM)$ Για το αριστερό: $\displaystyle {R\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MA_j}|=\sum_{j=1}^{n}|\ov...
- Τρί Οκτ 05, 2010 3:12 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Εξίσωση με τη συνάρτηση του πλήθους των διαιρετών
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 403
Re: Εξίσωση με τη συνάρτηση του πλήθους των διαιρετών
Ελπίζω να μην λέω βλακείες. Έστω $\displaystyle \prod_{j=1}^{m}p_{j}^{a_j}=n$ η κανονική μορφή του $n$. Με την φόρμουλα για το πλήθος των διαιρετών η εξίσωση γίνεται: $\displaystyle 2\prod_{j=1}^{m}(2a_j+1)=3\prod_{j=1}^{m}(a_j+1)$. Αν $m=1$ τότε $2(2a_1+1)=3(a_1+1) \Rightarrow a_1=1$, άρα ο $n$ πρώ...
- Δευ Οκτ 04, 2010 4:49 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Aνισότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 459
Re: Aνισότητα
Έχουμε πως: $w^2+1 \geq w+w \Leftrightarrow (w-1)^2 \geq 0$ $x^3+1 \geq x^2 +x \Leftrightarrow (x-1)^2(x+1) \geq 0$ $y^4+1 \geq y^3 +y \Leftrightarrow (y-1)^2(y^2+y+1) \geq 0$ $z^5+1 \geq z^4 +z \Leftrightarrow (z-1)^2(z^2+1)(z+1) \geq 0$ Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη τελειώσαμε. Με τον ίδιο τρόπο μπ...
- Δευ Οκτ 04, 2010 2:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 748
Re: Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων
Θέτω όπου το :
.
Άρα από τη δοθείσα προκύπτει ότι για κάθε , αδύνατον αφού η είναι .
.
Άρα από τη δοθείσα προκύπτει ότι για κάθε , αδύνατον αφού η είναι .
- Σάβ Οκτ 02, 2010 10:57 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Συσχετισμένοι μιγαδικοί
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 726
Re: Συσχετισμένοι μιγαδικοί
Η δοθείσα σημαίνει πως .
, που είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα το και . Εύκολα ελέγχουμε και το αντίστροφο.
, που είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα το και . Εύκολα ελέγχουμε και το αντίστροφο.