Photini έγραψε:Θα μπορούσατε να παρουσιάσετε μια λύση για το 3ο Θέμα του Θαλή για τη Γ' Λυκείου?
Ευχαριστώ

Δες το 3ο post του cretaman πιο πάνω. Έχει κρυμένες λύσεις για τη Β΄ και τη Γ΄ Λυκείου.

Ένας τρόπος με Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. Ισχύουν: $f(a)=-2004, f(b)=2010$ και με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε: $a^3+b^3-3(a^{2}+b^{2})+5(a+b)=6$. Παραγοντοποιώντας προκύπτει: $(a+b-2)(a^2-a(b+1)+b^2-b+3)=0 \Leftrightarrow a+b=2$, αφού το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta =-3b^2+6b-11<0$, αφού και αυτό από...

Γιώργο, το μάζεψα λίγο και η λύση είναι η ακόλουθη. Ελπίζω να μην ξέφυγε κάτι στην πληκτρολόγηση :) . ΒΔ διχοτόμος στο τρίγωνο ΑΒΓ, οπότε $\displaystyle \Delta A=\frac{\beta \gamma }{a+\gamma },\Delta \Gamma =\frac{a\beta}{a+\gamma }$. Συνεπώς $\displaystyle M\Delta =AM-A\Delta=\frac{\beta(a- \gamma...

Καταρχήν το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματός σου μοιάζει ορθογώνιο, ενώ κάτι τέτοιο δεν δίνεται από την υπόθεση, οπότε δεν το θεωρώ ορθογώνιο. Υπολογίζοντας γωνίες του σχήματος με τη βοήθεια μόνο των Β, Γ προκύπτουν ότι τα τρίγωνα ΗΜΕ, ΗΒΘ, ΔΜΖ, ΕΔΒ, ΗΖΒ, ΖΒΘ είναι όμοια. Επίσης αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο...

1. α) Η συνάρτηση $g$ είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $R$, με $\displaystyle g'(x)=\frac{2}{a+e^{x}}>0$, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1 και αντιστρέψιμη. β) Η εικόνα του $z=g(x)+xi$ είναι το σημείο $(g(x),x)$ και ανήκει στην γραφική της $g^{-1}(x)$, αφού $g^{-1}(g(x))=x$. 2.i $\left|\...

Θα έλεγα στο μαθητή ότι καλά τα λέει αλλά να κοιτάξει πρώτα που ορίζεται η σύνθετη που χρησιμοποιεί και έπειτα να κοιτάξει το θεώρημα συνέχειας σύνθετης( να δει που έχει νόημα και έπειτα να κοιτάξει την συνέχεια) σε σημείο. Βασίλη, για το θεώρημα συνέχειας σύνθετης του σχολικού βιβλίου γράφει: "......

Εγώ έχω πάγια τακτική σε κάθε άσκηση που έχει συνάρτηση να βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού και το ίδιο για κάθε συνάρτηση που θα θέσουμε ή θα χρησιμοποιήσουμε (είτε αναφέρεται σε σύνθετη συνάρτηση, είτε σε όριο συνάρτησης, είτε σε συνέχεια, ..., παντού). Έτσι γλιτώνεις από κακοτοπιές τέτοιου είδους...

chris_gatos έγραψε:Επανέρχομαι στην απορία μου και ας μου εξηγήσει κάποιος:
Πως γίνεται να ισχύει και αντιστρόφως, αφού για δύο διαφορετικά χ (χ=1 και χ=-3) έχω το ίδιο y;

Χρήστο αυτά τα δύο x σου δίνουν το ίδιο . Γι' αυτό δεν έχεις πρόβλημα.

Για το β) μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της αντίστροφης και να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f f^(-1)(x^2-8x)<5 μετά βάζουμε f στα μέλη Σε συνέχεια προηγούμενης κουβέντας στο mathematica, από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης του σχολικού βιβλίου ισχύει: $x_{1}<x_{2}\...

Για το (α) αφού η f είναι αντιστρέψιμη δεν έχεις πρόβλημα. Για παράδειγμα γενικά ισχύει $x_{1}=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})$, ενώ δεν ισχύει $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$, ενώ αν η f αντιστρέφεται ισχύει: $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow f^{-1}((f(x_{1}))=f^{-1}(f(x_{2})) \Rightar...

Η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. α) Ισχύει: $3+f^{-1}(x^{2}+2x)=5\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow f^{-1}(x^{2}+2x)=f^{-1}(3)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow x = 1$ ή $x = -3$. β) Ισχύει: $f^{-1}(x^{2}-8x)<5\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^{2}-8x-9<0 \Leftright...

Λευτέρη, το σύνολο τιμών δεν μπορεί να θεωρηθεί δεδομένο! Κώστα συμφωνώ μαζί σου σε οποιδήποτε άσκηση δεν δίνεται πληροφορία για το σύνολο τιμών. Στην συγκεκριμένη έχουμε πληροφορία. Δεν μπορούμε να την αγνοήσουμε! Μπορούμε βέβαια να την επιβεβαιώσουμε. Κατά τη γνώμη μου αν έπρεπε η λύση να έχει εύ...

Μια ακόμη προσέγγιση. Η f εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, οπότε αντιστρέφεται και ισχύει $f^{-1}(x)=x^{3}+x+2$, με $f^{-1}(0)=2$. Για τον υπολογισμό του ορίου θέτουμε $f(x)=u$, οπότε $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{u\rightarrow f^{-1}(2)}u=\lim_{u\rightarrow 0}u=0$ Λευτέρη έχω την γνώμη ότι το...

Μια ακόμη προσέγγιση. Η f εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, οπότε αντιστρέφεται και ισχύει $f^{-1}(x)=x^{3}+x+2$, με $f^{-1}(0)=2$. Για τον υπολογισμό του ορίου θέτουμε $f(x)=u$, οπότε $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{u\rightarrow f^{-1}(2)}u=\lim_{u\rightarrow 0}u=0$ Λευτέρη, νομίζω ότι είναι σχ...

Κατά τη γνώμη μου η έκφραση $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ υποδηλώνει την ύπαρξη του ορίου. Αν πρέπει κάποιος να εξέτάσει την ύπαρξη του ορίου, θα πρέπει η εκφώνηση να είναι ως εξής: Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο της συνάρτησης $f(x)$όταν το $x$τείνει στο $x_{0}$. Το σχολικό βιβλίο βέβαια, αλλά κα...

konkyr έγραψε:Χρήστο σωστά...όσον αφορα το 3 απλώς έτσι την βρήκα και έτσι την έδωσα

Λευτέρη ωραία όλα αλλά έχει ξεφύγει τυπογραφικό μαλλον στην παράγωγο είναι στον αριθμητή

Ναι σωστά διορθώθηκε!!!

Έστω $f(x)=1+x+x^{2}+...+x^{v},v\epsilon N^{*}$, η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R με $f'(x)=1+2x+3x^{2}+...+vx^{v-1},v\epsilon N^{*}$. H f είναι άθροισμα ν+1 όρων γεωμετρικής προόοδυ με πρώτο όρο 1, λόγο x, οπότε για $x\neq 1$έχουμε $\displaystyle1+x+x^{2}+...+x^{v}=\frac{x^{v+1}-1}{x-1...

Για $-5\leq x\leq 4$ θέτουμε $k=\sqrt[3]{x+5} \Leftrightarrow x=k^{3}-5$, $w=\sqrt[3]{4-x}\Leftrightarrow x=4-w^{3}$, οπότε η εξίσωση γίνεται $k+w=3 (I)$ ενώ εξισώνοντας τα x βρίσκουμε: $k^{3}+w^{3}=9 (II)$. Επομένως διαιρώντας την (ΙΙ) με την (Ι) προκύπτει $k^{2}+w^{2}-kw=3$, η οποία λόγω της (Ι) γ...

Εξίσωση 1η $x^{4}+4x-1=0 \Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-2x^{2}+4x-2+1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x^{2}+1)^{2}-(2x^{2}-4x+2)=0 \Leftrightarrow (x^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x^{2}+1-\sqrt{2}x+\sqrt{2})(x^{2}+1+\sqrt{2}x-\sqrt{2})=0 \Leftrightarrow$...

Μια ακόμη προσέγγιση. Η f εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, οπότε αντιστρέφεται και ισχύει $f^{-1}(x)=x^{3}+x+2$, με $f^{-1}(0)=2$. Για τον υπολογισμό του ορίου θέτουμε $f(x)=u$, οπότε $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{u\rightarrow f(2)}u=\lim_{u\rightarrow 0}u=0$ edit: Διόρθωσα το $u\rightarrow f^...