Αβελιανή ομάδα και αντίστροφα στοιχεία

Ιστοσελίδα · #1

Να δειχθεί ότι μία ομάδα

είναι αβελιανή, αν και μόνο, αν η απεικόνιση $f:G \mapsto G : a \mapsto f(a)=a^{-1}$ είναι αυτομορφισμός.

#2

$\displaystyle{(\Rightarrow)}$ Είναι $\displaystyle{f(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\stackrel{\boxed{*}}{=}a^{-1}b^{-1}=f(a)f(b)}$

$\displaystyle{\boxed{*}}$ Επειδή η

είναι αβελιανή, άρα η $\displaystyle{f}$ είναι ομομορφισμός.

$\displaystyle{ker(f)=\{a\in G:f(a)=a^{-1}=e\}=\{a\in G:a=e\}=\{e\}}$ , αρα η $\displaystyle{f}$ είναι μονομορφισμός.

Προφανώς τώρα για $\displaystyle{ a\in G}$ είναι $\displaystyle{f(a^{-1})=a}$ με $\displaystyle{a^{-1}\in G}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι και επιμορφισμός.

$\displaystyle{(\Leftarrow)}$ Έστω $\displaystyle{a,b\in G}$ . Είναι $\displaystyle{ab\stackrel{\boxed{*}}{=}f(a^{-1})f(b^{-1})\stackrel{\boxed{**}}{=}f(a^{-1}b^{-1})=f\left((\color{red}ba\color{black})^{-1}\right)=ba}$

$\displaystyle{\boxed{*}}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι επιμορφισμός και

$\displaystyle{\boxed{**}}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι ομομορφισμός.

Ευχαριστώ Μάνο

Ιστοσελίδα · #3

Αναστάση παρόμοια και η δική μου απόδειξη μόνο που πήγα το 1-1 στοιχειωδώς :

$f(a) = f(b) \Rightarrow a^{-1} = b^{-1} \Rightarrow a = b$

Αβελιανή ομάδα και αντίστροφα στοιχεία

Αβελιανή ομάδα και αντίστροφα στοιχεία

Re: Αβελιανή ομάδα και αντίστροφα στοιχεία

Re: Αβελιανή ομάδα και αντίστροφα στοιχεία

Μέλη σε σύνδεση