Ομομορφισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων

#1

Σαν συνέχεια του ποστ αυτού:

Να βρεθούν όλοι οι ομομορφισμοί ομάδων από το $\mathbb Z_{n}$ στο $\mathbb Z_{m}$ .

#2

Έστω $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $\displaystyle{n}$ και $\displaystyle{m}$ . Θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\mathrm{Hom}\left( {{\mathbb{Z}_n},{\mathbb{Z}_m}} \right) \cong {\mathbb{Z}_d},}$

όπου, βέβαια, για $\displaystyle{d = 1}$ θεωρούμε ότι η $\displaystyle{{\mathbb{Z}_1}}$ είναι η τετριμμένη ομάδα.

Έστω $\displaystyle{f:{\mathbb{Z}_n} \to {\mathbb{Z}_m}}$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Ο $\displaystyle{f}$ είναι πλήρως καθορισμένος από την τιμή του στο $\displaystyle{1 \in {\mathbb{Z}_n}.}$ Θέτουμε $\displaystyle{f\left( 1 \right): = a \in {\mathbb{Z}_m}}$ και παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{0 = f\left( n \right) = f\left( {\underbrace {1 + 1 + \cdots + 1}_n} \right) = \underbrace {f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) + \cdots + f\left( 1 \right)}_n = na,}$

δηλαδή ότι $\displaystyle{na \equiv 0\left( {\bmod m} \right).}$

Θέτουμε $\displaystyle{n = d{n_1}}$ και $\displaystyle{m = d{m_1},}$ όπου τώρα οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{{n_1}}$ και $\displaystyle{{m_1}}$ είναι σχετικά πρώτοι. Τότε, είναι

$\displaystyle{{n_1}a \equiv 0\left( {\bmod {m_1}} \right)}$

και άρα

$\displaystyle{a \equiv 0\left( {\bmod {m_1}} \right).}$

Παρατηρούμε τώρα ότι τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{{m_1}}$ στο $\displaystyle{{\mathbb{Z}_m}}$ είναι ακριβώς τα $\displaystyle{d}$ στοιχεία

$\displaystyle{0,{m_1},2{m_1},3{m_1}, \ldots ,\left( {d - 1} \right){m_1}.}$

Επομένως, το $\displaystyle{f\left( 1 \right) = a}$ θα πρέπει να είναι ένα από αυτά τα στοιχεία του $\displaystyle{{\mathbb{Z}_m}.}$

Θα αποδείξουμε τώρα ότι όλες οι παραπάνω τιμές του $\displaystyle{a}$ είναι δεκτές, δηλαδή ότι καθεμιά από αυτές δίνει έναν (διαφορετικό) ομομορφισμό από το $\displaystyle{{\mathbb{Z}_n}}$ στο $\displaystyle{{\mathbb{Z}_m}.}$

Για $\displaystyle{k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,d - 1} \right\}}$ θέτουμε

$\displaystyle{{f_k}: \mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}_m}:x \mapsto {f_k}\left( x \right): = k{m_1}x\left( {\bmod m} \right).}$

Παρατηρούμε ότι για κάθε ακέραιο $\displaystyle{r}$ είναι

$\displaystyle{{f_k}\left( {rn} \right) = k{m_1}rn\left( {\bmod m} \right) = kmr{n_1}\left( {\bmod m} \right) = 0 \in {\mathbb{Z}_m},}$

οπότε επάγεται ομομορφισμός $\displaystyle{{\bar f_k}:{\mathbb{Z}_n} \to {\mathbb{Z}_m}.}$

Δείξαμε ότι υπάρχουν ακριβώς $\displaystyle{d}$ ομομορφισμοί $\displaystyle{{\bar f_k}:{\mathbb{Z}_n} \to {\mathbb{Z}_m},}$ με $\displaystyle{k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,d - 1} \right\}.}$ Παρατηρούμε τέλος ότι για κάθε $\displaystyle{k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,d - 1} \right\}}$ ισχύει

$\displaystyle{{\bar f_k} = k{\bar f_1},}$

οπότε η ομάδα ομομορφισμών $\displaystyle{\mathrm{Hom}\left( {{\mathbb{Z}_n},{\mathbb{Z}_m}} \right) ,}$ είναι κυκλική τάξης $\displaystyle{d}$ με γεννήτορα $\displaystyle{{\bar f_1},}$ ισόμορφη με την $\displaystyle{{\mathbb{Z}_d}.}$

#3

Μια λύση όχι ουσιαστικά διαφορετική:

Δείχνουμε ότι

$\displaystyle{ A:=\mathrm{Hom}(\mathbb Z _{n},\mathbb Z _{m})=\left\{f:\mathbb Z _{n}\to\mathbb Z _{m}\,\,:\,\, f(a)=ak\pmod{m},\,k\in\{0,\ldots,m-1\},\,\,a\in\mathbb Z _{n},\,\,m|kn\right\}:=B}$

$(\subseteq)$ Έστω $f\in A$ με $f(1)=_{m}k$ . Αφού $1=_{n}n+1$ και η

είναι καλώς ορισμένη συνάρτηση, θα έχουμε $f(1)=_{m}f(n+1)\Rightarrow k=_{m}k(n+1)\Rightarrow m|kn$ .

Επίσης για $a\in\mathbb Z_{n}$ , f(a)=af(1)=ak

.

$(\supseteq)$ Έστω $f\in B$ . Θα δείξουμε ότι

η

είναι μια καλώς ορισμένη συνάρτηση και

ii)

η

είναι ομομορφισμός.

Αν $a_{1}=_{n}a_{2}$ τότε $n\lambda=a_{1}-a_{2}$ για κάποιο $\lambda\in\mathbb Z$ . Όμως τότε $m|kn\Rightarrow m|kn\lambda\Rightarrow m|k(a_{1}-a_{2})\Rightarrow ka_{1}=_{m}ka_{2}\Rightarrow f(a_{1})=_{m}f(a_{2})$ .

ii)

$f(a_{1}+a_{2})=(a_{1}+a_{2})k=_{m}a_{1}k+a_{2}k=f(a_{1})+f(a_{2})$ .

________________________________________________________________________________________________

Προκειμένου να κάνουμε λίγο απλούστερη την περιγραφή του

, μπορούμε να δείξουμε ότι, με το ίδιο συμβολισμό του Βαγγέλη :

Αν d=(m,n)

, $m=m_{1}d$ , $n=n_{1}d$ με $(m_{1},n_{1})=1$ , τότε :

$k\in\{0,\ldots,m-1\}\,\,\wedge\,\,m|kn\Leftrightarrow k=\lambda m_{1}\,\,\wedge\,\,\lambda\in\{0,\ldots,d-1\}$ .

Πράγματι :

$(\Rightarrow)m\mid kn\Rightarrow m_{1}d|kn_{1}d\Rightarrow m_{1}|kn_{1}\stackrel{(m_{1},n_{1})=1}{\Rightarrow}m_{1}|k\stackrel{k\in\{0,\ldots,m-1\}}{\Rightarrow}k=\lambda m_{1}$ με $\lambda\in\{0,\ldots,d-1\}$ .

$(\Leftarrow)$ Προφανές

Ομομορφισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων

Ομομορφισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων

Re: Ομομορφισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων

Re: Ομομορφισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων

Μέλη σε σύνδεση