Είναι ομάδα!

#1

Έστω $(M, \cdot )$ ένα μη κενό σύνολο, εφοδιασμένο με μια προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής από αριστερά και δεξιά.
Αν για κάθε $a \in M$ σύνολο $\{a^n|n\in \Bbb{N}\}$ είναι πεπερασμένο, να δείξετε ότι το $(M,\cdot )$ αποτελεί ομάδα.

ΖΩΗ · #2

socrates έγραψε:Έστω $(M, \cdot )$ ένα μη κενό σύνολο, εφοδιασμένο με μια προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής από αριστερά και δεξιά.
Αν για κάθε $a \in M$ σύνολο $\{a^n|n\in \Bbb{N}\}$ είναι πεπερασμένο, να δείξετε ότι το $(M,\cdot )$ αποτελεί ομάδα.

Για να είναι η δομή $\displaystyle{(M, \cdot)}$ ομάδα, αφού η πράξη είναι προσεταιριστική, αρκεί να δείξουμε ότι:

(I) $\displaystyle{ \exists e \in M : e\cdot a =a=a \cdot e, \,\, \forall a \in M}$ , και (II) $\displaystyle{ \forall a \in M, \exists a^{-1} \in M: a \cdot a^{-1} = e = a^{-1}\cdot a}$ .

Για την (Ι): Έστω $\displaystyle{a \in M}$ . Αφού το σύνολο $\displaystyle{\left\{a^{n} / n \in \mathbb {N} \right\}}$ είναι πεπερασμένο, θα υπάρχουν φυσικοί $\displaystyle{m, n}$ με $\displaystyle{m \neq n}$ ώστε $\displaystyle{a^m = a^n}$ .(1)

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{m>n}$ .

Οπότε από την (1) έχουμε $\displaystyle{ a^{m+1} = a^{n+1}\implies a^{m-n+1}\cdot a^{n} = a \cdot a^{n} \,\, \overset {\delta \iota \alpha \gamma \rho\alpha \varphi \grave{\eta }}{\implies} \,\, a^{m-n+1} = a}.$ (2)

Αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{ e_{a}}$ το στοιχείο $\displaystyle{a^{m-n} }$ τότε από την (2) έχουμε: $\displaystyle{ e_{a}\cdot a=a\cdot e_{a}=a}$ .

Έτσι λοιπόν έχουμε βρει, για κάθε στοιχείο του συνόλου $\displaystyle{M}$ , το δικό του ουδέτερο.

Πρέπει τώρα να αποδείξουμε ότι αυτό είναι το ίδιο για όλα τα στοιχεία του συνόλου.

Αν $\displaystyle{a,b \in M}$ με $\displaystyle{a \neq b}$ θα δείξουμε ότι $\displaystyle{e_a = e_b}$ .

Αφού $\displaystyle{a,b \in M}$ έπεται ότι $\displaystyle{a\cdot b \in M}$ οπότε:

$\displaystyle{ e_{ab} \cdot \left( a\cdot b\right) = a\cdot b \implies e_{ab} \cdot \left( a\cdot b\right) =( e_a \cdot a ) \cdot b \implies e_{ab} \cdot \left( a\cdot b\right) = e_a \cdot (a \cdot b) \,\, \overset {\delta \iota \alpha \gamma \rho\alpha \varphi \grave{\eta }}{\implies} \,\, e_{ab} = e_{a}}.$ (3)

και

$\displaystyle{ \left( a\cdot b\right) \cdot e_{ab} = a \cdot b \implies \left( a\cdot b\right) \cdot e_{ab} = a \cdot (b \cdot e_b) \implies ( a \cdot b ) \cdot e_{ab} = (a \cdot b) \cdot e_b \,\, \overset {\delta \iota \alpha \gamma \rho\alpha \varphi \grave{\eta }}{\implies} \,\, e_{ab} = e_b}.$ (4)

Από τις (3), (4) έπεται ότι $\displaystyle{e_a = e_b}$ .

Επομένως υπάρχει στοιχείο $\displaystyle{e}$ του συνόλου $\displaystyle{M}$ για το οποίο ισχύει $\displaystyle{e\cdot a =a=a \cdot e, \,\, \forall a \in M}$ και έτσι αποδείξαμε την (Ι).

Για την (ΙΙ): Θεωρούμε ένα στοιχείο του $\displaystyle{M}$ , έστω $\displaystyle{a}$ . Όπως και πριν, θα υπάρχουν φυσικοί $\displaystyle{m, n}$ με $\displaystyle{m>n}$ ώστε $\displaystyle{a^m = a^n}$ και όπως είδαμε θα είναι $\displaystyle{e = a^{m-n}}$ .

Αν $\displaystyle{m=n+1}$ τότε $\displaystyle{e = a}$ οπότε $\displaystyle{a^{-1} =a= e.}$

Αν $\displaystyle{m>n+1}$ τότε $\displaystyle{a^{m-n-1} \cdot a = e = a \cdot a^{m-n-1} \implies a^{-1} = a^{m-n-1} }$ .

Επομένως, για κάθε στοιχείο $\displaystyle{a}$ του συνόλου $\displaystyle{M}$ υπάρχει -προφανώς εντός του $\displaystyle{ M}$ - το συμμετρικό του ως προς την πράξη $\displaystyle{\cdot}$ και έτσι αποδείξαμε την (IΙ).

Άρα, $\displaystyle{ \left(M, \cdot \right)}$ είναι ομάδα.

Είναι ομάδα!

Είναι ομάδα!

Re: Είναι ομάδα!

Μέλη σε σύνδεση