Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Συντονιστής: Demetres
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Ας δούμε ακόμα μια άσκηση με κυβικά πολυώνυμα:
Δίνεται το πολυώνυμο και μια ρίζα του.
Μπορούμε να εκφράσουμε τις υπόλοιπες ρίζες το , ως πολυωνυμικές παραστάσεις της με ρητούς συντελεστές?
Αν ναι, να βρεθούν αυτές οι εκφράσεις.
Νίκος Κατσίπης
Δίνεται το πολυώνυμο και μια ρίζα του.
Μπορούμε να εκφράσουμε τις υπόλοιπες ρίζες το , ως πολυωνυμικές παραστάσεις της με ρητούς συντελεστές?
Αν ναι, να βρεθούν αυτές οι εκφράσεις.
Νίκος Κατσίπης
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
nkatsipis έγραψε:Ας δούμε ακόμα μια άσκηση με κυβικά πολυώνυμα:
Δίνεται το πολυώνυμο και μια ρίζα του.
Μπορούμε να εκφράσουμε τις υπόλοιπες ρίζες το , ως πολυωνυμικές παραστάσεις της με ρητούς συντελεστές?
Αν ναι, να βρεθούν αυτές οι εκφράσεις.
Νίκος Κατσίπης
Οι υπόλοιπες ρίζες του πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν ως πολυωνυμικές παραστάσεις του διότι:
Το πολυώνυμο έχει διακρίνουσα και συνεπώς το σώμα ριζών του είναι το .
Έπεται λοιπόν ότι οι υπόλοιπες ρίζες του είναι ρητός συνδιασμός της βάσης του διανυσματικού χώρου .
Για καθορισμό της παράστασης:
Ένας υπερβολικά σάπιος τρόπος είναι να "λύσουμε" (ανάθεμα και αν γίνεται) τις εξισώσεις
(τρεις 6σώσεις),
δεδομένου ότι
.
Ένας άλλος τρόπος, άρκετά βαβουριάρικος και αυτός, είναι ο εξής:
(1)Αρχικά επιλύουμε την τριτοβάθμια εξίσωση βρίσκοντας τελικά
και
.
(2)Δεδομένου ότι , έχουμε ότι
.
(3)Με τη βοήθεια του και του πολυωνύμου έχουμε αντίστοιχα ότι
, άρα
και όμοια
, άρα
.
Είμαι σίγουρος πως υπάρχει αλγεβρικός τρόπος που αποφεύγει την επίλυση της τριτοβάθμιας αλλά δυστυχώς οι σημειώσεις μου βρίσκονται στην Αθήνα
Καλή σας ημέρα
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Καλημέρα!!! (Για τον Αναστάση είναι τώρα μεσημέρι )Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:nkatsipis έγραψε:Ας δούμε ακόμα μια άσκηση με κυβικά πολυώνυμα:
Δίνεται το πολυώνυμο και μια ρίζα του.
Μπορούμε να εκφράσουμε τις υπόλοιπες ρίζες το , ως πολυωνυμικές παραστάσεις της με ρητούς συντελεστές?
Αν ναι, να βρεθούν αυτές οι εκφράσεις.
Νίκος Κατσίπης
Οι υπόλοιπες ρίζες του πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν ως πολυωνυμικές παραστάσεις του διότι:
Το πολυώνυμο έχει διακρίνουσα και συνεπώς το σώμα ριζών του είναι το .
Έπεται λοιπόν ότι οι υπόλοιπες ρίζες του είναι ρητός συνδιασμός της βάσης του διανυσματικού χώρου .
Για καθορισμό της παράστασης:
Ένας υπερβολικά σάπιος τρόπος είναι να "λύσουμε" (ανάθεμα και αν γίνεται) τις εξισώσεις
(τρεις 6σώσεις),
δεδομένου ότι
.
Ένας άλλος τρόπος, άρκετά βαβουριάρικος και αυτός, είναι ο εξής:
(1)Αρχικά επιλύουμε την τριτοβάθμια εξίσωση βρίσκοντας τελικά
και
.
(2)Δεδομένου ότι , έχουμε ότι
.
(3)Με τη βοήθεια του και του πολυωνύμου έχουμε αντίστοιχα ότι
, άρα
και όμοια
, άρα
.
Είμαι σίγουρος πως υπάρχει αλγεβρικός τρόπος που αποφεύγει την επίλυση της τριτοβάθμιας αλλά δυστυχώς οι σημειώσεις μου βρίσκονται στην Αθήνα
Καλή σας ημέρα
Αναστάση πολύ ωραία και έξυπνη η προσέγγιση σου!!!
Η λύση που έχω εγώ (η οποία γενικεύται) χρησιμοποιεί τα εξής: (εδώ δεν βρίσκουμε τις ρίζες)
(1) την έκφραση της ορίζουσας ,
(2) το γεγονός ότι (συγκεκριμένα ),
(3) την σχέση
(4) και την σχέση , (η οποία προκύπτει αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις και και διαιρώντας με το )
Κάνοντας μερικά παιχνίδια με τις πράξεις έχουμε τα αποτελέσματα που έγραψε ο Αναστάσης.
Νίκος Κατσίπης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Γειά σαςΚοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Είμαι σίγουρος πως υπάρχει αλγεβρικός τρόπος που αποφεύγει την επίλυση της τριτοβάθμιας
Ισχύει το εξής θεώρημα
Αν το κυβικό πολυώνυμο είναι ανάγωγο επί του σώματος , έχει ρίζες και διακρίνουσα , τότε το σώμα ριζών του είναι το
(Birkhoff, Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (3d), Macmillan, 1965, σελίδα 415, θεώρημα 21)
Με και (από τον υπολογισμό του Αναστάση) είναι και . Όλα τα στοιχεία του είναι ρητές εκφράσεις του επομένως και οι ρίζες , .
Mαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Καλησπέρα
Αναφερόμουν σε αλγεβρικό τρόπο για τον υπολογισμό της ρητής παράστασης συναρτήσει του , κάτι που περιγράφει μετά ο Νίκος.
Νίκο αν έχεις χρόνο γράψε και συ τη λύση σου.
Είναι το θεώρημα που χρησιμοποίησα εδώ:nsmavrogiannis έγραψε: Γειά σας
Ισχύει το εξής θεώρημα
Αν το κυβικό πολυώνυμο είναι ανάγωγο επί του σώματος , έχει ρίζες και διακρίνουσα , τότε το σώμα ριζών του είναι το
(Birkhoff, Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (3d), Macmillan, 1965, σελίδα 415, θεώρημα 21)
Καλώς έκανες και το διατύπωσες γιατί δε φαίνεται ξεκάθαρα τι χρησιμοποιώ.Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το πολυώνυμο έχει διακρίνουσα και συνεπώς το σώμα ριζών του είναι το .
Έπεται λοιπόν ότι οι υπόλοιπες ρίζες του είναι ρητός συνδιασμός της βάσης του διανυσματικού χώρου .
Αναφερόμουν σε αλγεβρικό τρόπο για τον υπολογισμό της ρητής παράστασης συναρτήσει του , κάτι που περιγράφει μετά ο Νίκος.
Νίκο αν έχεις χρόνο γράψε και συ τη λύση σου.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Παρατήρηση στα παραπάνω:
Ένας αλγεβρικός τρόπος επίλυσης, όπως αυτός του Νίκου, καθιστά φανερό ότι η ρητή παράσταση των υπόλοιπων ριζών της συναρτήσει της είναι ανεξάρτητη της μορφής της , της ανάθεσης δηλαδή σε αυτήν της τιμής , όπως γίνεται στη δική μου λύση.
Στη δική μου λύση, η ανάθεση αυτή φαίνεται να παίζει ουσιαστικό ρόλο, λόγω του ότι δίνει τη δυνατότητα της χρήσης των πολυωνύμων του κυρ' , τα οποία οδηγούν στην επιθυμητή ρητή έκφραση.
Αυτό είναι το πλεονέκτημα της αφηρημένης αλγεβρικής αντιμετώπισης τέθθθθθοιων ασκήσεων έναντι της υπολογιστικής.
Αυτάάάάάά....
Ένας αλγεβρικός τρόπος επίλυσης, όπως αυτός του Νίκου, καθιστά φανερό ότι η ρητή παράσταση των υπόλοιπων ριζών της συναρτήσει της είναι ανεξάρτητη της μορφής της , της ανάθεσης δηλαδή σε αυτήν της τιμής , όπως γίνεται στη δική μου λύση.
Στη δική μου λύση, η ανάθεση αυτή φαίνεται να παίζει ουσιαστικό ρόλο, λόγω του ότι δίνει τη δυνατότητα της χρήσης των πολυωνύμων του κυρ' , τα οποία οδηγούν στην επιθυμητή ρητή έκφραση.
Αυτό είναι το πλεονέκτημα της αφηρημένης αλγεβρικής αντιμετώπισης τέθθθθθοιων ασκήσεων έναντι της υπολογιστικής.
Αυτάάάάάά....
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Εκτός από το θεωρητικό κομμάτι, προσπάθησα να υπολογίσω τα συναρτήσει των και . Βρήκα λοιπόν (με κάθε επιφύλαξη για την ορθότητα) ότιnsmavrogiannis έγραψε: Αν το κυβικό πολυώνυμο είναι ανάγωγο επί του σώματος , έχει ρίζες και διακρίνουσα , τότε το σώμα ριζών του είναι το
(Birkhoff, Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (3d), Macmillan, 1965, σελίδα 415, θεώρημα 21)
(Γνωρίζουμε επίσης ότι .)
Ο τρόπος που χρησιμοποίησα είναι παρόμοιος με αυτόν που εισηγείται ο Νίκος Κατσίπης για την περίπτωση . Ένας από τους λόγους που δούλεψα με την γενική περίπτωση ήταν για να αποφύγω το «Κάνοντας μερικά παιχνίδια με τις πράξεις» που είπε ο Νίκος. Τελικά τα "παιχνίδια" δεν τα απέφυγα. Σε ένα σημείο της λύσης χρειάστηκε να μαντέψω μια ρίζα ενός πολυωνύμου τετάρτου βαθμού με συντελεστές στο .
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Re: Σχέσεις ριζών κυβικού πολυωνύμου
Πολύ όμορφα τα όσα γράφτηκαν από όλους!
Δημήτρη πολύ σωστά!!! Αυτές είναι οι γενικές εκφράσεις!
Δεν ξέρω, αλλά νομίζω ότι τα "παιχνίδια" με τις πράξεις δύσκολα κανείς τα αποφεύγει.
Σας ευχαριστώ όλους,
Νίκος Κατσίπης
Δημήτρη πολύ σωστά!!! Αυτές είναι οι γενικές εκφράσεις!
Δεν ξέρω, αλλά νομίζω ότι τα "παιχνίδια" με τις πράξεις δύσκολα κανείς τα αποφεύγει.
Σας ευχαριστώ όλους,
Νίκος Κατσίπης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες