Μια ομάδα.

#1

Έστω $(G,\cdot)$ μια ομάδα και $a,b \in G$ τέτοια ώστε $a^3 \cdot b = b \cdot a^2$ και $a^{12} = e.$
Να δείξετε ότι a = e .

#2

socrates έγραψε:Έστω $(G,\cdot)$ μια ομάδα και $a,b \in G$ τέτοια ώστε $a^3 \cdot b = b \cdot a^2$ και $a^{12} = e.$
Να δείξετε ότι

${\color{red}\bullet~~}(a^3\cdot b)\cdot a^2 =(b\cdot a^2)\cdot a^2 \Leftrightarrow a^3\cdot(b \cdot a^2)=b \cdot a^4\Leftrightarrow a^3 \cdot(a^3 \cdot b)=b \cdot a^4\Leftrightarrow$

$a^6 \cdot b=b \cdot a^4$

${\color{red}\bullet~~}{\color{blue}(a^6 \cdot b) \cdot a^4=(b \cdot a^4) \cdot a^4}\Leftrightarrow a^6 \cdot (b \cdot a^4)=b \cdot a^8\Leftrightarrow a^6 \cdot (a^6 \cdot b)=b \cdot a^8\Leftrightarrow$

${\color{blue}a^{12} \cdot b=b \cdot a^8}\Leftrightarrow e \cdot b=b \cdot a^8\Leftrightarrow a^8=e$
--------
${\color{red}\bullet~~}a^{12} \cdot b=b \cdot a^8\Leftrightarrow a^4 \cdot b=b\Leftrightarrow a^4=e$
-------
$(a^6 \cdot b) \cdot a^4=(b \cdot a^4) \cdot a^4\Leftrightarrow a^2 \cdot b=b\Leftrightarrow a^2=e$
--------
${\color{red}\bullet~~}a^3 \cdot b = b \cdot a^2\Leftrightarrow a \cdot b=b\Leftrightarrow a=e$

Garfield · #3

socrates έγραψε:Έστω $(G,\cdot)$ μια ομάδα και $a,b \in G$ τέτοια ώστε $a^3 \cdot b = b \cdot a^2 \quad (1)$ και $a^{12} = e. \quad (2)$
Να δείξετε ότι

Πολλαπλασιάζοντας την (1)

από αριστερά και δεξιά με $a^{9}$ και $a^{10}$ αντίστοιχα και σύμφωνα με την (2)

παίρνουμε: $\displaystyle{ b a^{10} = a^{9}b }$

Έτσι έχουμε:

$\displaystyle{ b a^{10} = a^{9}b \implies a^{10} = b^{-1} a^{9} b \implies \boxed{a^{-2} = b^{-1}a^{-3}b} } \quad (3)$ , διότι από την (2)

έχουμε ότι $a^{10}= a^{-2}$

Ακόμη από τις (2)

και

παίρνουμε:

$\displaystyle{ a^{2} = a^{-10} = (a^{-2})^{5} = (b^{-1} a^{-3} b)^{5} = b^{-1} a^{15} b =b^{-1} a^{-3}b = a^{-2} \Longrightarrow \boxed{a^{4} =e} \quad (4) }$

Από την (4)

διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για την τάξη του

1η) $\displaystyle{ \boxed{\text{o}(a)=1}}$

Τότε προφανώς a=e

και έχουμε τελειώσει

2η) $\displaystyle{ \boxed{\text{o}(a)=2}}$

Τότε $a^{2} =e$ και από την (1)

παίρνουμε $\displaystyle{ ab=b \implies a=e}$ το οποίο είναι άτοπο διότι έχουμε υποθέσει ότι $\displaystyle{\text{0}(a)=2}$

3η) $\displaystyle{ \boxed{\text{o}(a)=4}}$

Τότε $a^{4} =e$ και η (3)

μας δίνει $\displaystyle{ a^{2}= b^{-1}ab \implies e = a^{4} = (b^{-1}ab)^{2} = b^{-1}a^{2}b \implies a^{2} =e}$ το οποίο είναι άτοπο διότι έχουμε υποθέσει ότι $\displaystyle{\text{0}(a)=4}$

Μια ομάδα.

Μια ομάδα.

Re: Μια ομάδα.

Re: Μια ομάδα.

Μέλη σε σύνδεση