Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

#1

Έστω ένας δακτύλιος

ο οποίος έχει ταυτοτικό στοιχείο. Έστω

το αριστερό ιδεώδες του

το οποίο παράγεται από το σύνολο $\{ab-ba:a,b \in R\}$ . Να δειχθεί ότι το

είναι δίπλευρο ιδεώδες.

Πηγή: Berkeley Problems in Mathematics

Επεξεργασία: Αφαιρέθηκε η λέξη «μεταθετικός».

BAGGP93 · #2

Κύριε Δημήτρη, αφού ο δακτύλιος είναι μεταθετικός, τότε $\displaystyle{\left\{a\,b-b\,a\in R: a\,,b\in R\right\}=\left\{0\right\}$ , και συνεπώς

$\displaystyle{I=\langle{\left\{0\right\}\rangle}=\left\{0\right\}}$ το οποίο είναι δίπλευρο.

Μήπως λείπει η υπόθεση της μεταθετικότητας ; Εκτός και αν είναι τόσο απλή η άσκηση.

BAGGP93 · #3

Αν παραληφθεί η υπόθεση της μεταθετικότητας τότε έχουμε :

Έστω το αριστερό ιδεώδες $\displaystyle{I=\langle{\left\{a\,b-b\,a\in R: a\,,b\in R\right\}\rangle}}$ .

Ας είναι $\displaystyle{a\,,b\,r\in R}$ . Τότε,

$\displaystyle{\left(a\,b-b\,a\right)\cdot r=a\,b\,r-b\,a\,r=a\,(b\,r)-(b\,r)\,a+(b\,r)\,a-b\,a\,r=a\,(b\,r-r\,b)+b\,(r\,a-a\,r)}$ , όπου

$\displaystyle{b\,r-r\,b\,,r\,a-a\,r\in I\,,a\,,b\in R}$ . Από το γεγονός ότι το $\displaystyle{I}$ είναι αριστερό ιδεώδες, παίρνουμε ότι

$\displaystyle{\left(a\,b-b\,a)\cdot r\in I\,\,,\forall\,a\,,b\,,r\in R}$ . Ώστε,

$\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}(a\,b-b\,a)\,y_{i}\right)\cdot r&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\left(a\,b\,y_{i}-b\,a\,y_{i}\right)\,r\in I}$

και έχουμε το ζητούμενο.

#4

BAGGP93 έγραψε:
Μήπως λείπει η υπόθεση της μεταθετικότητας ; Εκτός και αν είναι τόσο απλή η άσκηση.

Ασφαλώς και λείπει. Ούτως η άλλως σε μεταθετικούς δακτυλίους κάθε ιδεώδες είναι δίπλευρο. Την ώρα που την έγραφα διάβαζα άλλη άσκηση με μεταθετικό δακτύλιο και μου ξέφυγε.

BAGGP93 · #5

Ένα σχόλιο :

Για κάθε $\displaystyle{a\,,b\in R}$ , το στοιχείο $\displaystyle{a\,b-b\,a}$ ονομάζεται μεταθέτης των $\displaystyle{a\,,b}$

και συμβολίζεται με $\displaystyle{[a,b]}$ .

Όπως δείξαμε, το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ που παράγεται από το σύνολο όλων των μεταθετών, είναι διπλό ιδεώδες του δακτυλίου $\displaystyle{R}$ .

Ορίζεται λοιπόν ο πηλικο-δακτύλιος $\displaystyle{R/I}$ . Για κάθε $\displaystyle{r+I\,,s+I\in R/I}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} (r+I)\cdot (s+I)=(s+I)\cdot (r+I)&\iff r\,s+I=s\,r+I\\&\iff r\,s-s\,r\in I\end{aligned}}$

και η τελευταία είναι αληθής. Ώστε, ο

πηλικο-δακτύλιος $\displaystyle{R/I}$ είναι μεταθετικός.

Σε αντιστοιχία με τις ομάδες, έχουμε την παράγωγο υποομάδα $\displaystyle{G'=[G,G]=\langle{\left\{[x,y]=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in G:x\,,y\in G\right\}\rangle}}$

η οποία είναι κανονική υποομάδα της $\displaystyle{G}$ και η ομάδα-πηλίκο $\displaystyle{G/G'}$ είναι αβελιανή.

Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Re: Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Re: Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Re: Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Re: Από αριστερό σε δίπλευρο ιδεώδες

Μέλη σε σύνδεση