Ταυτοτικός στο R

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα και $A,B\in R$ με

αντιστρέψιμο.
Θέλω να δείξω ότι η αντιστοιχία $x\rightarrow Ax+B$ ορίζει ένα μοναδικό αυτομορφισμό του R[x]

που είναι ταυτοτικός στο

.

Τι σημαίνει να είναι ταυτοτικός στο

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ταυτοτικός σημαίνει ότι στέλνει κάθε στοιχείο στον εαυτό του.

Ειρήνη 33 · #3

Για να δείξουμε ότι η αντιστοιχία ορίζει ένα μοναδικό αυτομορφισμό του R[x]

που είναι ταυτοτικός στο

, πρέπει να δείξουμε ότι η αντιστοιχία είναι ισομορφισμός;

#4

Αν ονομάσουμε $\varphi$ το πολυώνυμο $\varphi \left( x\right) =Ax+B$ η απεικόνιση, ας την πούμε

, απεικονίζει κάθε πολυώνυμο

στο πολυώνυμο $P\circ \varphi$ . Δηλαδή $T\left( P\right) =P\circ \varphi$ . Προφανώς τα σταθερά πολυώνυμα απεικονίζονται στον ευατό τους (αυτό σημαίνει ταυτοτική στον δακτύλιο

). Απομένει να αποδειχθεί ότι:
$T\left( P_{1}+P_{2}\right) =T\left( P_{1}\right) +T\left( P_{2}\right)$
$T\left( P_{1}P_{2}\right) =T\left( P_{1}\right) T\left( P_{2}\right)$
(αυτά για να βγεί ομομορφισμός)
$T\left( P\right) =0\Leftrightarrow P=0$
(για το 1-1) και
για κάθε πολυώνυμο

υπάρχει πολυώνυμο

ώστε

(για το επί). Εδώ θα χρησιμοποιηθεί η υπόθεση ότι το

είναι αντιστρέψιμο.

Μαυρογιάννης

Ειρήνη 33 · #5

nsmavrogiannis έγραψε:Αν ονομάσουμε $\varphi$ το πολυώνυμο $\varphi \left( x\right) =Ax+B$ η απεικόνιση, ας την πούμε , απεικονίζει κάθε πολυώνυμο στο πολυώνυμο $P\circ \varphi$ . Δηλαδή $T\left( P\right) =P\circ \varphi$ .Απομένει να αποδειχθεί ότι:
$T\left( P_{1}+P_{2}\right) =T\left( P_{1}\right) +T\left( P_{2}\right)$
$T\left( P_{1}P_{2}\right) =T\left( P_{1}\right) T\left( P_{2}\right)$
(αυτά για να βγεί ομομορφισμός)

Ισχύει ότι :
$(P_1+P_2)\circ \varphi=P_1\circ \varphi+P_2\circ \varphi$
$(P_1\cdot P_2)\circ \varphi=(P_1\circ \varphi )\cdot (P_2\circ \varphi )$

;

nsmavrogiannis έγραψε: $T\left( P\right) =0\Leftrightarrow P=0$
(για το 1-1)

Έχουμε ότι $T\left( P\right) =0\Rightarrow (P\circ \varphi )(x)=0 \Rightarrow P(\varphi (x))=0$ , σωστά;
Συμπεραίνουμε από αυτό ότι P=0

;

nsmavrogiannis έγραψε:για κάθε πολυώνυμο υπάρχει πολυώνυμο ώστε
(για το επί). Εδώ θα χρησιμοποιηθεί η υπόθεση ότι το είναι αντιστρέψιμο.

Έστω

ένα πολυώνυμο. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ένα πολυώνυμο

έτσι ώστε $T(P)=Q\Rightarrow P\circ \varphi =Q$ .
Πώς μπορούμε να δείξουμε την ύπαρξη ενός τέτοιου πολυωνύμου;

Ειρήνη 33 · #6

Έστω
$P_1(x) = \sum\limits_{i = 0}^n c_ix^i$ και $P_2(x) = \sum\limits_{i = 0}^n d_ix^i$

Τότε
$\\ T(P_1(x)+P_2(x)) = (P_1+P_2)(\varphi (x)) = \sum\limits_{i = 0}^n (c_i+d_i)(ax + b)^i \\ = \sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i + \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i= P_1(\varphi (x)) + P_2(\varphi (x)) = T(P_1(x)) + T(P_2(x))$

Είναι σωστό αυτό;

Έχουμε ότι
$T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} \sum\limits_{j=0}^ic_jd_{i-j}(ax + b)^i$
Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό ισούται με $\left (\sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i \right )\cdot \left ( \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i\right )$ ;

#7

Ειρήνη 33 έγραψε:Έστω
$P_1(x) = \sum\limits_{i = 0}^n c_ix^i$ και $P_2(x) = \sum\limits_{i = 0}^n d_ix^i$

Τότε
$\\ T(P_1(x)+P_2(x)) = (P_1+P_2)(\varphi (x)) = \sum\limits_{i = 0}^n (c_i+d_i)(ax + b)^i \\ = \sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i + \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i= P_1(\varphi (x)) + P_2(\varphi (x)) = T(P_1(x)) + T(P_2(x))$

Είναι σωστό αυτό;

Έχουμε ότι
$T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} \sum\limits_{j=0}^ic_jd_{i-j}(ax + b)^i$
Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό ισούται με $\left (\sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i \right )\cdot \left ( \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i\right )$ ;

Οι τελευταίες πράξεις δεν χρειάζονται: $T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))=...$
Το ίδιο και οι πράξεις για την πρόσθεση.

Ειρήνη 33 · #8

nsmavrogiannis έγραψε:Οι τελευταίες πράξεις δεν χρειάζονται: $T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))=...$

Γιατί ισχύει ότι $(P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))$ ; Μπορείτε να μου το εξηγήσετε;

#9

Ειρήνη 33 έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:Οι τελευταίες πράξεις δεν χρειάζονται: $T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))=...$

Γιατί ισχύει ότι $(P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))$ ; Μπορείτε να μου το εξηγήσετε;

Κάπου στο βιβλίο που χρησιμοποιείτε (αλήθεια ποιό;) θα πρέπει να υπάρχει η έννοια του ομομορφισμού αντικατάστασης ή εκτίμησης (χρησιμοποιώ τον όρο από την ελληνική έκδοση της άλγεβρας του Lang σελίδα 101, η ορολογία αλλάζει από βιβλίο σε βιβλίο). Ο ομομορφισμός αυτός εξηγεί ότι ακόμη και αν τα πολυώνυμα ορίζονται όχι ως συναρτήσεις αλλά ακολουθίες πάλι οι πράξεις τους συμπεριφέρονται όπως οι πράξεις των συναρτήσεων.

Ειρήνη 33 · #10

nsmavrogiannis έγραψε:
Ειρήνη 33 έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:Οι τελευταίες πράξεις δεν χρειάζονται: $T(P_1(x)P_2(x)) = (P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))=...$

Γιατί ισχύει ότι $(P_1P_2)(\varphi(x)) = P_{1}(\varphi(x))P_{2}(\varphi(x))$ ; Μπορείτε να μου το εξηγήσετε;
Κάπου στο βιβλίο που χρησιμοποιείτε (αλήθεια ποιό;) θα πρέπει να υπάρχει η έννοια του ομομορφισμού αντικατάστασης ή εκτίμησης (χρησιμοποιώ τον όρο από την ελληνική έκδοση της άλγεβρας του Lang σελίδα 101, η ορολογία αλλάζει από βιβλίο σε βιβλίο). Ο ομομορφισμός αυτός εξηγεί ότι ακόμη και αν τα πολυώνυμα ορίζονται όχι ως συναρτήσεις αλλά ακολουθίες πάλι οι πράξεις τους συμπεριφέρονται όπως οι πράξεις των συναρτήσεων.

Κατάλαβα.

Μπορείτε να μου εξηγήσετε πώς μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι επί; Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι για κάθε πολυώνυμο

υπάρχει πολυώνυμο

ώστε

;

#11

Με $Q\left( x\right) =P\left( A^{-1}\left( x-B\right) \right)$ είναι $T\left( Q\right) \left( x\right) =\left( Q\circ \varphi \right) \left( x\right) =$ $P\left( A^{-1}\left( \varphi \left( x\right) -B\right) \right) =P\left( A^{-1}\left( Ax+B-B\right) \right) =P\left( x\right)$ άρα $T\left( Q\right) =P.$
Μαυρογιάννης

Ειρήνη 33 · #12

Κατάλαβα!

Οπότε μένει να δείξουμε ότι ο αυτομορφισμός είναι μοναδικός. Πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό; Πρέπει να θεωρήσουμε ότι δεν είναι μοναδικός και να καταλήξουμε σε άτοπο;

Ταυτοτικός στο R

Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Re: Ταυτοτικός στο R

Μέλη σε σύνδεση