Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

BAGGP93 · #1

Γεια σας. Χρόνια πολλά.

Κατασκευάστε έναν προσεταιριστικό δακτύλιο χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.

#2

Χρόνια πολλά συνονόματε!

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα, αλλά νομίζω ότι το πιο απλό είναι το εξής:

Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών, εφοδιασμένο με τη συνήθη πράξη της πρόσθεσης και με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό: για κάθε $x, y \in \mathbb{Q}$ , ορίζουμε $\displaystyle{x \cdot y = 0.}$ Τότε, ο $\displaystyle{\left( {\mathbb{Q}, + , \cdot } \right)}$ είναι ένας δακτύλιος χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.

Πράγματι, έστω $\displaystyle{\displaystyle{I \subset \mathbb{Q}}$ ένα ιδεώδες του παραπάνω δακτυλίου. Τότε, το $\displaystyle{I}$ είναι υποομάδα της προσθετικής ομάδας $\displaystyle{\left( {\mathbb{Q}, + } \right).}$ Αν υποθέσουμε ότι το $\displaystyle{I}$ είναι μέγιστο ιδεώδες, τότε η ομάδα πηλίκο $\displaystyle{\frac{\mathbb{Q}}{I}}$ είναι αβελιανή και απλή, άρα έχει τάξη ίση με έναν πρώτο αριθμό $\displaystyle{p.}$ Συνεπώς, θα είναι $\displaystyle{p\mathbb{Q} \subseteq I.}$ Αν, λοιπόν, $x \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle{y = \frac{x}{p},}$ τότε $\displaystyle{x = py \in p\mathbb{Q} \subseteq I,}$ δηλαδή $\displaystyle{I = \mathbb{Q},}$ πράγμα άτοπο. Ώστε, ο δακτύλιός μας δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.

Σημείωση: Το ίδιο ισχύει αν αντί της προσθετικής ομάδας $\displaystyle{\left( {\mathbb{Q}, + } \right)}$ θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε διαιρετή (divisible) αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left( {G, + } \right)}$ (δηλαδή για κάθε $\displaystyle{x \in G}$ και κάθε θετικό ακέραιο

υπάρχει $\displaystyle{y \in G}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{x = ny}$ ) και την εφοδιάσουμε με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό όπως παραπάνω.

BAGGP93 · #3

Ευχαριστώ κύριε Μουρούκο για την απάντηση.

Εκτός από τις ομάδες $\displaystyle{\left(\mathbb{K},+\right)}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{K}}$ είναι σώμα με $\displaystyle{\rm{char}(\mathbb{K})=0}$ ,

μπορείτε, αν έχετε κάποια κατα νου, να μας γράψετε μια άλλη διαιρετή ομάδα ;

#4

Παραδείγματα διαιρετών ομάδων είναι (μεταξύ άλλων):

$\bullet$ Η ομάδα $\displaystyle{\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}.}$

$\bullet$ Η προσθετική ομάδα κάθε διανυσματικού χώρου επί του σώματος $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών.

$\bullet$ Η ομάδα $\displaystyle{\mathbb{Z}\left( {{p^\infty }} \right)}$ των μιγαδικών $\displaystyle{{{p^n}}}$ -οστών ριζών της μονάδας για κάθε θετικό ακέραιο

, όπου

πρώτος αριθμός.

BAGGP93 · #5

Για να τα δούμε.

Ας είναι $\displaystyle{x=\dfrac{a}{b}+\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$ και $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{y=\dfrac{a}{n\,b}+\mathbb{Z}}$ και τότε $\displaystyle{x=n\,y}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{\left(M,+\right)}$ ένα $\displaystyle{\mathbb{Q}}$ - πρότυπο.

Αν $\displaystyle{x\in M}$ και $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ , τότε $\displaystyle{\dfrac{1}{n}\in\mathbb{Q}}$ και

$\displaystyle{n\,\left(\dfrac{1}{n}\,x\right)=\left(n\,\dfrac{1}{n}\right)\,x=x}$ .

Ερώτηση

Στην τελευταία, ποιο είναι το σύνολο στο οποίο δίνουμε δομή ομάδας ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Ψάχνοντας βρήκα αυτό.
http://math.stackexchange.com/questions ... mal-ideals
και αυτό
http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/NoMaxIdeals.pdf

#7

emouroukos έγραψε: $\bullet$ Η ομάδα $\displaystyle{\mathbb{Z}\left( {{p^\infty }} \right)}$ των μιγαδικών $\displaystyle{{{p^n}}}$ -οστών ριζών της μονάδας για κάθε θετικό ακέραιο , όπου πρώτος αριθμός.

Είναι $\displaystyle{\mathbb{Z}\left( {{p^\infty }} \right) = \left\{ {z \in \mathbb{C}|\exists n \in \mathbb{N}:{z^{{p^n}}} = 1} \right\},}$ με πράξη το συνήθη πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών.

Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

Μέλη σε σύνδεση