Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Συντονιστής: Demetres
Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Γεια σας. Χρόνια πολλά.
Κατασκευάστε έναν προσεταιριστικό δακτύλιο χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Κατασκευάστε έναν προσεταιριστικό δακτύλιο χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Χρόνια πολλά συνονόματε!
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα, αλλά νομίζω ότι το πιο απλό είναι το εξής:
Θεωρούμε το σύνολο των ρητών αριθμών, εφοδιασμένο με τη συνήθη πράξη της πρόσθεσης και με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό: για κάθε , ορίζουμε Τότε, ο είναι ένας δακτύλιος χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Πράγματι, έστω ένα ιδεώδες του παραπάνω δακτυλίου. Τότε, το είναι υποομάδα της προσθετικής ομάδας Αν υποθέσουμε ότι το είναι μέγιστο ιδεώδες, τότε η ομάδα πηλίκο είναι αβελιανή και απλή, άρα έχει τάξη ίση με έναν πρώτο αριθμό Συνεπώς, θα είναι Αν, λοιπόν, και τότε δηλαδή πράγμα άτοπο. Ώστε, ο δακτύλιός μας δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Σημείωση: Το ίδιο ισχύει αν αντί της προσθετικής ομάδας θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε διαιρετή (divisible) αβελιανή ομάδα (δηλαδή για κάθε και κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει τέτοιο, ώστε ) και την εφοδιάσουμε με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό όπως παραπάνω.
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα, αλλά νομίζω ότι το πιο απλό είναι το εξής:
Θεωρούμε το σύνολο των ρητών αριθμών, εφοδιασμένο με τη συνήθη πράξη της πρόσθεσης και με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό: για κάθε , ορίζουμε Τότε, ο είναι ένας δακτύλιος χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Πράγματι, έστω ένα ιδεώδες του παραπάνω δακτυλίου. Τότε, το είναι υποομάδα της προσθετικής ομάδας Αν υποθέσουμε ότι το είναι μέγιστο ιδεώδες, τότε η ομάδα πηλίκο είναι αβελιανή και απλή, άρα έχει τάξη ίση με έναν πρώτο αριθμό Συνεπώς, θα είναι Αν, λοιπόν, και τότε δηλαδή πράγμα άτοπο. Ώστε, ο δακτύλιός μας δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.
Σημείωση: Το ίδιο ισχύει αν αντί της προσθετικής ομάδας θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε διαιρετή (divisible) αβελιανή ομάδα (δηλαδή για κάθε και κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει τέτοιο, ώστε ) και την εφοδιάσουμε με τον τετριμμένο πολλαπλασιασμό όπως παραπάνω.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Ευχαριστώ κύριε Μουρούκο για την απάντηση.
Εκτός από τις ομάδες , όπου είναι σώμα με ,
μπορείτε, αν έχετε κάποια κατα νου, να μας γράψετε μια άλλη διαιρετή ομάδα ;
Εκτός από τις ομάδες , όπου είναι σώμα με ,
μπορείτε, αν έχετε κάποια κατα νου, να μας γράψετε μια άλλη διαιρετή ομάδα ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Παραδείγματα διαιρετών ομάδων είναι (μεταξύ άλλων):
Η ομάδα
Η προσθετική ομάδα κάθε διανυσματικού χώρου επί του σώματος των ρητών αριθμών.
Η ομάδα των μιγαδικών -οστών ριζών της μονάδας για κάθε θετικό ακέραιο , όπου πρώτος αριθμός.
Η ομάδα
Η προσθετική ομάδα κάθε διανυσματικού χώρου επί του σώματος των ρητών αριθμών.
Η ομάδα των μιγαδικών -οστών ριζών της μονάδας για κάθε θετικό ακέραιο , όπου πρώτος αριθμός.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Για να τα δούμε.
Ας είναι και .
Θέτουμε και τότε .
Έστω τώρα ένα - πρότυπο.
Αν και , τότε και
.
Ερώτηση
Στην τελευταία, ποιο είναι το σύνολο στο οποίο δίνουμε δομή ομάδας ;
Ας είναι και .
Θέτουμε και τότε .
Έστω τώρα ένα - πρότυπο.
Αν και , τότε και
.
Ερώτηση
Στην τελευταία, ποιο είναι το σύνολο στο οποίο δίνουμε δομή ομάδας ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Ψάχνοντας βρήκα αυτό.
http://math.stackexchange.com/questions ... mal-ideals
και αυτό
http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/NoMaxIdeals.pdf
http://math.stackexchange.com/questions ... mal-ideals
και αυτό
http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/NoMaxIdeals.pdf
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
Είναι με πράξη το συνήθη πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών.emouroukos έγραψε: Η ομάδα των μιγαδικών -οστών ριζών της μονάδας για κάθε θετικό ακέραιο , όπου πρώτος αριθμός.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες