Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

#1

Να δοθεί παράδειγμα μη-μεταθετικού δακτυλίου

, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες

έτσι ώστε ο δακτύλιος-πηλίκο $R\,/\,I$ να είναι μεταθετικός.

BAGGP93 · #2

Γεια σου Γρηγόρη. Ορίστε μια απάντηση :

viewtopic.php?f=10&t=52884

#3

Ένα παράδειγμα σε πεπερασμένο δακτύλιο:

Για το σύνολο

$R=\bigg\{\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\Big|\; {\rm{k,m,n}}\in\{0,1\}\bigg\}$

ισχύουν
$\begin{aligned} \bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)-\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{a}}]_2 & [{\rm{b}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{c}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)&=\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2+[{\rm{a}}]_2 & [{\rm{m}}]_2+[{\rm{b}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2+[{\rm{c}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in R\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{a}}]_2 & [{\rm{b}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{c}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)&=\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{ka}}]_2 & [{\rm{mc}}]_2+[{\rm{mc}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{nc}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in R\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \bigg(\begin{smallmatrix} [1]_2 & [1]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [1]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg)=\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [0]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg)&\neq\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [1]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg)=\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [1]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\bigg(\begin{smallmatrix} [1]_2 & [1]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [1]_2 \end{smallmatrix}\bigg) \,. \end{aligned}$

Επομένως το

είναι μη-μεταθετικός δακτύλιος με 2^3=8

στοιχεία. Για τον υποδακτύλιο

$I=\bigg\{\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{r}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{s}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\Big|\; {\rm{r,s}}\in\{0,1\}\bigg\}$

του

και για κάθε $\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in R\,,\; \bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{r}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{s}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in I$ , ισχύουν

$\begin{aligned} \bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{r}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{s}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)&=\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{kr}}]_2+[{\rm{ms}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{ns}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in I\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{r}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{s}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\,\bigg(\begin{smallmatrix} [{\rm{k}}]_2 & [{\rm{m}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{n}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)&=\bigg(\begin{smallmatrix} [0]_2 & [{\rm{rn}}]_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} [0]_2 & [{\rm{ns}}]_2 \end{smallmatrix}\bigg)\in I\,. \end{aligned}$

Επομένως το

είναι ιδεώδες με 2^2=4

στοιχεία. Ο δακτύλιος-πηλίκο $R\,/\,I$ έχει $\frac{8}{4}=2$ στοιχεία και, επομένως, είναι ισόμορφος με τον $\mathbb{Z}_2$ , ο οποίος είναι μεταθετικός δακτύλιος.

BAGGP93 · #4

Σε συνέχεια αυτού που έκανε ο Γρηγόρης και πιο γενικά.

Ίσως είναι μια εξήγηση γιατί επελέχθη αυτός ο δακτύλιος .

Αν $\displaystyle{\left(\mathbb{K},+,\cdot\right)}$ είναι ένα σώμα και $\displaystyle{R=T_{n}(\mathbb{K})\,,n\geq 2}$ ο δακτύλιος των άνω τριγωνικών

πινάκων με τις συνήθεις πράξεις (Ο Γρηγόρης επέλεξε $\displaystyle{n=2}$ και $\displaystyle{\mathbb{K}=\mathbb{Z}_{2}}$ ) , τότε αυτός δεν

είναι μεταθετικός, αλλά είναι δακτύλιος του $\displaystyle{\rm{Artin}}$ ώς πεπερασμένα παραγόμενη $\displaystyle{\mathbb{K}}$ - άλγεβρα.

Έτσι, ο πηλικοδακτύλιος (το ριζικό είναι αμφίπλευρο ιδεώδες) $\displaystyle{R/J(R)}$ είναι ημιαπλός δακτύλιος, όπου το

$\displaystyle{J(R)}$ αποτελείται από τους άνω τριγωνικούς με μηδενικά στη διαγώνιο (Στο παράδειγμα του Γρηγόρη, είναι ακριβώς οι διαγώνιοι, δηλαδή 2 στοιχεία)

και συνεπώς, $\displaystyle{R/J(R)\cong \mathbb{K}^n$ ώς δακτύλιοι (άρα μεταθετικός)

Ο Γρηγόρης λοιπόν, βρήκε το μεγαλύτερο ιδεώδες που κάνει τον πηλικοδακτύλιο μεταθετικό ενώ το ριζικό είναι το μικρότερο ιδεώδες που κάνει τον

πηλικοδακτύλιο μεταθετικό. Εν προκειμένω, λόγω συνθήκης $\displaystyle{\rm{Artin}}$ , είναι το μικρότερο που κάνει τον πηλικοδακτύλιο και ημιαπλό.

Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

Re: Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

Re: Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

Re: Μη μεταθετικός δακτύλιος & μεταθετικός δακτύλιος πηλίκο

Μέλη σε σύνδεση