Πίνακες
Συντονιστής: Demetres
Πίνακες
Να βρεθούν οι τετραγωνικοί πίνακες που ικανοποιούν την σχέση: ,
όπου
(Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;)
όπου
(Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;)
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πίνακες
Δεν είμαι σίγουρος αν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη μέθοδος για λύση πολυωνιμκών εξισώσεων με πίνακες. Εδώ, επειδή η εξίσωση είναι απλή και επειδή ο είναι σε κανονική μορφή Jordan βοηθάει αρκετά.
Θέλουμε όπου
Ισχύει όμως και ότι από Cayley-Hamilton.
Δεν μπορούμε να έχουμε άρα καταλήγουμε στο ότι . Επειδή παίρνουμε
το οποίο δίνει τις λύσεις και .
Άρα
Θέλουμε όπου
Ισχύει όμως και ότι από Cayley-Hamilton.
Δεν μπορούμε να έχουμε άρα καταλήγουμε στο ότι . Επειδή παίρνουμε
το οποίο δίνει τις λύσεις και .
Άρα
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Πίνακες
georgevg, καλώς όρισες στο mathematica.gr
1) Επειδή ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος και θετικά ορισμένος, υπάρχει διαγώνιος πίνακας -με τις μη-αρνητικές ιδιοτιμές του στην διαγώνιό του- και αντιστρέψιμος πίνακας , έτσι ώστε .
2) ...
Η λύση του Δημήτρη είναι η συντομότερη δυνατή γιατί χρησιμοποιεί το ότι ο πίνακας είναι σε κανονική μορφή Jordan. Στην γενικότερη περίπτωση όπου ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος και θετικά ημιορισμένος, η διαδικασία έχει περισσότερους υπολογισμούς και βήματα:georgevg έγραψε:..Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;
1) Επειδή ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος και θετικά ορισμένος, υπάρχει διαγώνιος πίνακας -με τις μη-αρνητικές ιδιοτιμές του στην διαγώνιό του- και αντιστρέψιμος πίνακας , έτσι ώστε .
2) ...
Re: Πίνακες
Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο για τις απαντήσεις σας.Θα ήθελα επίσης να ρωτήσω μήπως υπάρχει και πιο εύκολος τρόπος επίλυσης έστω και με περισσότερες πράξεις;
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πίνακες
Επίσης, επειδή η διάσταση του πίνακα είναι τόσο μικρή, μπορείς να αναζητήσεις τις λύσεις υπό τη μορφήgeorgevg έγραψε:Να βρεθούν οι τετραγωνικοί πίνακες που ικανοποιούν την σχέση: ,
όπου
(Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;)
,
οπότε
.
Επομένως θέλεις να λύσεις το σύστημα
.
Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις φαίνεται ότι και από την πρώτη
Τελικά υπάρχουν δύο τέτοιοι πίνακες. Οι
και
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες