Γραμμική Άλγεβρα - Διανυσματικοί χώροι

Θανος98 · #1

Καλήσπερα σας

Είμαι νέος στο ενδιαφέρον αυτό μαθηματικό φόρουμ .
Διαβάζοντας για την εξεταστική βρήκα στο διαδίκυο δύο ασκήσεις οι οποίες με έχουν δυσκολέψει αρκετά και με αφορμή αυτές δημιουργώ το νέο αυτό ποστ.
1: Έχουμε έναν διανυσματικό χώρο

πάνω σε σώμα R με dimV=2n

και

ένας ενδομορφισμός του. Αν για τους ενδομορφίσμους f-I

και

του V ισχύει dim(f-I)(V)=dim(f-2I)(V)=n

ν.δ.ο η τομή των πυρηνων f-I

και

ειναι ιση με το μηδενικό στοιχείο .
2: Εστω Ε ενας διανυσματικος χωρος πανω σε σωμα k και Ε1,Ε2 δύο υποχώροι του έτσι ωστε Ε=Ε1+Ε2. Θεωρουμε την απεικονση $\phi :E1\times E2$ που ορίζεται ως εξης : $\phi \left ( \bar{}\chi +\bar{\psi } \right )= \bar{\chi }+\bar{\psi }$
, για καθε χ ανηκει Ε1 και για καθε y ανηκει Ε2.
Ν.δ.ο η φ γραμμική και να βρεθεί ο $\mathbb{N}\phi$
.

Θα ήθελα την βοήθειά σας αν έχετε την καλοσύνη .
Ευχαριστώ για τον πολύτιμο χρόνο σας .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θανος98 έγραψε:Καλήσπερα σας

Είμαι νέος στο ενδιαφέρον αυτό μαθηματικό φόρουμ .
Διαβάζοντας για την εξεταστική βρήκα στο διαδίκυο δύο ασκήσεις οι οποίες με έχουν δυσκολέψει αρκετά και με αφορμή αυτές δημιουργώ το νέο αυτό ποστ.
1: Έχουμε έναν διανυσματικό χώρο πάνω σε σώμα R με
και ένας ενδομορφισμός του. Αν για τους ενδομορφίσμουςκαι του V ισχύει ν.δ.ο η τομή των πυρηνων και ειναι ιση με το μηδενικό στοιχείο .
2: Εστω Ε ενας διανυσματικος χωρος πανω σε σωμα k και Ε1,Ε2 δύο υποχώροι του έτσι ωστε Ε=Ε1+Ε2. Θεωρουμε την απεικονση $\phi :E1\times E2$ που ορίζεται ως εξης : $\phi \left ( \bar{}\chi +\bar{\psi } \right )= \bar{\chi }+\bar{\psi }$
, για καθε χ ανηκει Ε1 και για καθε y ανηκει Ε2.
Ν.δ.ο η φ γραμμική και να βρεθεί ο $\mathbb{N}\phi$
.

Θα ήθελα την βοήθειά σας αν έχετε την καλοσύνη .
Ευχαριστώ για τον πολύτιμο χρόνο σας .

Θα σου απαντήσω στο 1).Ο λόγος είναι ότι οι περισσότερες προυποθέσεις είναι περιττές.

Εστω $x\in Ker(f-I)\cap Ker(f-2I)$

Τότε (f-I)(x)=0,(f-2I)(x)=0

Δηλαδή

Προκύπτει ότι x=0

και τελειώσαμε.

BAGGP93 · #3

Θανος98 έγραψε: 2: Εστω Ε ενας διανυσματικος χωρος πανω σε σωμα k και Ε1,Ε2 δύο υποχώροι του έτσι ωστε Ε=Ε1+Ε2. Θεωρουμε την απεικονση $\phi :E1\times E2$ που ορίζεται ως εξης : $\phi \left ( \bar{}\chi +\bar{\psi } \right )= \bar{\chi }+\bar{\psi }$
, για καθε χ ανηκει Ε1 και για καθε y ανηκει Ε2.
Ν.δ.ο η φ γραμμική και να βρεθεί ο $\mathbb{N}\phi$
.

Η απεικόνιση $\displaystyle{\phi}$ είναι ορισμένη στον διανυσματικό χώρο $\displaystyle{E_1\times E_2}$ (με πράξεις κατά σημείο)

και παίρνει τιμές στον $\displaystyle{E}$ . Ορίζεται μέσω της σχέσης $\displaystyle{\phi(x,y)=x+y\,,\forall\,x\in E_1\,,\forall\,y\in E_2}$

Είναι εύκολο να αποδείξεις ότι $\displaystyle{\phi((x,y)+k\,(x',y'))=\phi(x,y)+k\,\phi(x',y')}$ για κάθε $\displaystyle{(x,y)\,,(x',y')\in E_1\times E_2}$

και για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{K}}$ , άρα η $\displaystyle{\phi}$ είναι γραμμική.

Τέλος, $\displaystyle{\rm{Ker}(\phi)=\left\{(x,y)\in E_1\times E_2\,, \phi(x,y)=x+y=0\right\}=...$

Γραμμική Άλγεβρα - Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα - Διανυσματικοί χώροι

Re: Γραμμική Άλγεβρα - Διανυσματικοί χώροι

Re: Γραμμική Άλγεβρα - Διανυσματικοί χώροι

Μέλη σε σύνδεση