Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

andreashmmy · #1

Δίνονται τα υποσύνολα V_1,V_2

του $\mathbb{R}^3$ : $V_1=\left\{(x,y,z):x+y+2z=0\right\}, V_2=\{(x,y,z):2x+3y+z=0\}$ . Είναι διανυσματικοί υπόχωροι του $\mathbb{R}^3$ . Να βρεθεί μία βάση και μία διάσταση των $V_1,V_2,V_1 \cap V_2,V_1+V_2$ .

Σε αντίστοιχη άσκηση, έχω διαβάσει σε βοήθημα πως αρκεί να κάνω πίνακα με τις βάσεις των V_1,V_2

, να τον φέρω σε κλιμακωτή μορφή και να θεωρήσω τις μη μηδενικές γραμμές σα βάση του αθροίσματος.

Σε γνωστό βοήθημα από το οποίο πήρα και την παραπάνω άσκηση λέει να βρω πρώτα μία βάση για κάθε ένα από τα V_1,V_2

που να περιέχει το κοινό διάνυσμα τους που αποτελεί βάση του $V_1 \cap V_2$ και να θεωρήσω πίνακα με γραμμές το παραπάνω κοινό στοιχείο και τις παραπάνω βάσεις.

Υπάρχει πρόβλημα με κάποια από την παραπάνω εκ των 2 μεθόδων;

Συγγνώμη για την τομή αλλά δε γνωρίζω πως γράφεται σε Latex και ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

andreashmmy έγραψε: Συγγνώμη για την τομή αλλά δε γνωρίζω πως γράφεται σε Latex και ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Το διόρθωσα. Βελτίωσα επίσης κάποια άλλα πράγματα. Αν πας με το βελάκι πάνω από τους τύπους θα δεις πως τα έγραψα.

andreashmmy έγραψε:Υπάρχει πρόβλημα με κάποια από την παραπάνω εκ των 2 μεθόδων;

Και οι δύο τρόποι είναι σωστοί. Αν θες γράψε μας τις απαντήσεις που βρίσκεις για να δούμε αν βρήκες το σωστό αποτέλεσμα.

andreashmmy · #3

andreashmmy έγραψε:Υπάρχει πρόβλημα με κάποια από την παραπάνω εκ των 2 μεθόδων;

Και οι δύο τρόποι είναι σωστοί. Αν θες γράψε μας τις απαντήσεις που βρίσκεις για να δούμε αν βρήκες το σωστό αποτέλεσμα.

έχω βρει ότι βάσεις του V_1

είναι τα

και του

τα

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ -2 & 0 & 1\\ \ 1 & 0 & -2\\ \ 0 & 1 & -3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

-2γραμμη1 +γραμμη2

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ 0 & -2 & 1\\ \ 1 & 0 & -2\\ \ 0 & 1 & -3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

γραμμή1 + γραμμή 3

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ 0 & -2 & 1\\ \ 0 & 1 & -2\\ \ 0 & 1 & -3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

1/2

γραμμή2 + γραμμή3

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ 0 & -2 & 1\\ \ 0 & 0 & -3/2\\ \ 0 & 1 & -3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

1/2

γραμμή2 + γραμμή4

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ 0 & -2 & 1\\ \ 0 & 0 & -3/2\\ \ 0 & 0 & -5/2\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

-5/3

γραμμή3 + γραμμή 4

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \ 0 & -2 & 1\\ \ 0 & 0 & -3/2\\ \ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$ άρα βάσεις του V_1 + V_2

είναι τα

οπότε ισχύει dim(V_1 + V_2)=3

#4

Υπάρχουν 2-3 λαθάκια στα πρόσημα, μάλλον τυπογραφικά.

Τώρα που βρήκες την τελική απάντηση, σκέψου και αν υπήρχε ευκολότερος τρόπος να καταλήξεις σε αυτήν.

andreashmmy · #5

Demetres έγραψε:Υπάρχουν 2-3 λαθάκια στα πρόσημα, μάλλον τυπογραφικά.

Τώρα που βρήκες την τελική απάντηση, σκέψου και αν υπήρχε ευκολότερος τρόπος να καταλήξεις σε αυτήν.

Εντόπισα ένα λάθος και το διόρθωσα.

Θα το εκτιμούσα αν μπορούσατε να μου υποδείξετε κάποιον ευκολότερο τρόπο εάν υπάρχει.

Ευχαριστώ!

#6

andreashmmy έγραψε: Θα το εκτιμούσα αν μπορούσατε να μου υποδείξετε κάποιον ευκολότερο τρόπο εάν υπάρχει.

Αν θέλεις να απαντάμε στις ερωτήσεις σου, θα ήταν επικοδομητικό να δείχνεις και εσύ την ανάλογη
ανταπόκριση.

Δες για παράδειγμα τις τελευταίες

γραμμές στο τελευταίο ποστ μου εδώ.

andreashmmy · #7

Αν θέλεις να απαντάμε στις ερωτήσεις σου, θα ήταν επικοδομητικό να δείχνεις και εσύ την ανάλογη
ανταπόκριση.

Δες για παράδειγμα τις τελευταίες

γραμμές στο τελευταίο ποστ μου εδώ.[/quote]

Με συγχωρείτε απλά έτυχε να με βοηθήσει κάποιος γνωστός μου να κατανοήσω καλύτερα το συγκεκριμένο θέμα και θεώρησα άσκοπο να σπαταλήσω και το δικό μου αλλά και το δικό σας χρόνο,για να μου εξηγήσετε κάτι το οποίο δε χρειαζόμουν, ενώ φαντάζομαι πως θα υπήρχαν και άλλα πράγματα πιο σημαντικά.

#8

andreashmmy έγραψε: Με συγχωρείτε απλά έτυχε να με βοηθήσει κάποιος γνωστός μου να κατανοήσω καλύτερα το συγκεκριμένο θέμα και θεώρησα άσκοπο να σπαταλήσω και το δικό μου αλλά και το δικό σας χρόνο,για να μου εξηγήσετε κάτι το οποίο δε χρειαζόμουν, ενώ φαντάζομαι πως θα υπήρχαν και άλλα πράγματα πιο σημαντικά.

Μάλλον προφάσεις είναι αυτά και όχι η αλήθεια. Πρώτα απ΄ όλα γιατί δεν είναι υποχρεωμένος να διαβάσει κάποιος τις απαντήσεις σου ώστε εσύ να φροντίζεις με τόση επιμέλεια να μην χάσει τον χρόνο του.

Αν πραγματικά ενδιαφέρεσαι για να μην σπαταλάς τον χρόνο μας άσκοπα, τότε θα ήταν πιο φρόνημο να λύνεις μόνος σου τις απλές ασκήσεις και να μην ρωτάς "με ψύλου πήδημα", όπως για παράδειγμα στο αμέσως επόμενο πόστ σου, εδώ.

Καλό λοιπόν να ακούσεις την συμβουλή μας που κατά βάθος είναι πρόσκληση να αποκτήσεις Μαθηματική αυτοδυναμία.

Γράψε λοιπόν έστω και τώρα την μέθοδό σου στα παραπάνω και άσε τις υπεκφυγές.

andreashmmy · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
andreashmmy έγραψε: Με συγχωρείτε απλά έτυχε να με βοηθήσει κάποιος γνωστός μου να κατανοήσω καλύτερα το συγκεκριμένο θέμα και θεώρησα άσκοπο να σπαταλήσω και το δικό μου αλλά και το δικό σας χρόνο,για να μου εξηγήσετε κάτι το οποίο δε χρειαζόμουν, ενώ φαντάζομαι πως θα υπήρχαν και άλλα πράγματα πιο σημαντικά.
Μάλλον προφάσεις είναι αυτά και όχι η αλήθεια. Πρώτα απ΄ όλα γιατί δεν είναι υποχρεωμένος να διαβάσει κάποιος τις απαντήσεις σου ώστε εσύ να φροντίζεις με τόση επιμέλεια να μην χάσει τον χρόνο του.

Αν πραγματικά ενδιαφέρεσαι για να μην σπαταλάς τον χρόνο μας άσκοπα, τότε θα ήταν πιο φρόνημο να λύνεις μόνος σου τις απλές ασκήσεις και να μην ρωτάς "με ψύλου πήδημα", όπως για παράδειγμα στο αμέσως επόμενο πόστ σου, εδώ.

Καλό λοιπόν να ακούσεις την συμβουλή μας που κατά βάθος είναι πρόσκληση να αποκτήσεις Μαθηματική αυτοδυναμία.

Γράψε λοιπόν έστω και τώρα την μέθοδό σου στα παραπάνω και άσε τις υπεκφυγές.

Θα προτιμούσα να απέχω από μία τέτοια "διαμάχη" με το να σας απαντήσω σε ανάλογο ύφος με το δικό σας για αυτό θα αρκεστώ στο να σας ευχαριστήσω για το μέχρι τώρα ενδιαφέρον σας.

#10

andreashmmy έγραψε:
Demetres έγραψε:Υπάρχουν 2-3 λαθάκια στα πρόσημα, μάλλον τυπογραφικά.

Τώρα που βρήκες την τελική απάντηση, σκέψου και αν υπήρχε ευκολότερος τρόπος να καταλήξεις σε αυτήν.
Εντόπισα ένα λάθος και το διόρθωσα.

Θα το εκτιμούσα αν μπορούσατε να μου υποδείξετε κάποιον ευκολότερο τρόπο εάν υπάρχει.

Ευχαριστώ!

Η τελική απάντηση είναι ότι ο V_1+V_2

έχει διάσταση

. Δηλαδή είναι ο $\mathbb{R}^3$ .

Ποιες είναι οι διαστάσεις των V_1

και

; Ποια είναι η μοναδική περίπτωση ώστε ο V_1+V_2

να μην είναι ο $\mathbb{R}^3$ ;

andreashmmy · #11

Demetres έγραψε:
Η τελική απάντηση είναι ότι ο έχει διάσταση . Δηλαδή είναι ο $\mathbb{R}^3$ .

Ποιες είναι οι διαστάσεις των και ; Ποια είναι η μοναδική περίπτωση ώστε ο να μην είναι ο $\mathbb{R}^3$ ;

Οι διαστάσεις των V_1,V_2

είναι 2 και 2. Όσο για τη μοναδική περίπτωση ώστε ο V_1+V_2 να μην είναι ο $\mathbb{R}^3;$ δε γνωρίζω.

Ευχαριστώ.

#12

Υπάρχει κάποιος διανυσματικός χώρος ενδιάμεσα του V_1

και του $\mathbb{R}^3$ ;

andreashmmy · #13

Demetres έγραψε:Υπάρχει κάποιος διανυσματικός χώρος ενδιάμεσα του και του $\mathbb{R}^3$ ;

Η διάσταση του V_1

είναι 2 και ο $\mathbb{R}^3$ έχει 3 διαστάσεις οπότε υποθέτω πως ναι.

#14

andreashmmy έγραψε:
Demetres έγραψε:Υπάρχει κάποιος διανυσματικός χώρος ενδιάμεσα του και του $\mathbb{R}^3$ ;
Η διάσταση του είναι 2 και ο $\mathbb{R}^3$ έχει 3 διαστάσεις οπότε υποθέτω πως ναι.

Για ξαναδές το αυτό.

Θα μπορούσε άραγε κάποιος ενδιάμεσος διανυσματικός χώρος να έχει διάσταση 2,5

, δεδομένου ότι $2\, <\, 2,5 \, < \, 3$

Και κάτι ακόμα.

Τι απέγινε αυτός

andreashmmy έγραψε: Με συγχωρείτε απλά έτυχε να με βοηθήσει κάποιος γνωστός μου να κατανοήσω καλύτερα το συγκεκριμένο θέμα

Τώρα ίσως αντιληφθείς πόσο δίκιο είχα που έγραφα τα παραπάνω, που ονόμασες "διαμάχη".

andreashmmy · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
andreashmmy έγραψε:
Demetres έγραψε:Υπάρχει κάποιος διανυσματικός χώρος ενδιάμεσα του και του $\mathbb{R}^3$ ;
Η διάσταση του είναι 2 και ο $\mathbb{R}^3$ έχει 3 διαστάσεις οπότε υποθέτω πως ναι.
Για ξαναδές το αυτό.

Θα μπορούσε άραγε κάποιος ενδιάμεσος διανυσματικός χώρος να έχει διάσταση , δεδομένου ότι $2\, <\, 2,5 \, < \, 3$

Τώρα που το ξαναβλέπω όχι, δε θα μπορούσε ένας διανυσματικός χώρος να είναι "μισός".

Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Re: Να βρεθεί μια βάση και μία διάσταση για το V1+V2

Μέλη σε σύνδεση