Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Συντονιστής: Demetres
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Ἔστω γραμμικὸς χῶρος διαστάσεως ἐπί τοῦ σώματος καὶ γραμμικὴ ἀπεικόνιση. Ἄν τὸ ἐλάχιστο πολυώνυμο τῆς εἶναι βαθμοῦ (ὅπου ), δείξατε ὅτι ὑπάρχει , ὥστε τὰ στοιχεῖα
νὰ εἶναι γραμμικῶς ἀνεξάρτητα.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἀνωτέρω ἀπετέλεσε θέμα στὴν τελικὴ ἐξέταση τοῦ μαθήματος «Γραμμικὴ Ἄλγεβρα ΙΙ» (Ἐαρινό ἑξάμηνο 2017) στὸ Τμῆμα Μαθηματικῶν καὶ Στατιστικῆς τοὺ Πανεπιστημίου Κύπρου, μὲ μηδενικὴ δυστυχῶς ἐπιτυχία.
νὰ εἶναι γραμμικῶς ἀνεξάρτητα.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἀνωτέρω ἀπετέλεσε θέμα στὴν τελικὴ ἐξέταση τοῦ μαθήματος «Γραμμικὴ Ἄλγεβρα ΙΙ» (Ἐαρινό ἑξάμηνο 2017) στὸ Τμῆμα Μαθηματικῶν καὶ Στατιστικῆς τοὺ Πανεπιστημίου Κύπρου, μὲ μηδενικὴ δυστυχῶς ἐπιτυχία.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Φαντάζομαι θα το διδάχτηκαν και στο μάθημα, σωστά; Διότι μπορεί το κάθε βήμα της απόδειξης που ξέρω να μην είναι δύσκολο αλλά να τα βάλεις όλα μαζί χωρίς να τα έχεις ξαναδεί εν ώρα εξετάσεων νομίζω είναι δύσκολο.
Έστω το ελάχιστο πολυώνυμο του .
Για , τα στοιχεία του είναι ασφαλώς γραμμικώς εξαρτημένα. Άρα υπάρχει μοναδικό μονικό πολυώνυμο ελάχιστου βαθμού ώστε . Επειδή πρέπει .
Από όλα τα πολυώνυμα παίρνουμε ένα μέγιστου βαθμού, έστω το . Αρκεί να δείξουμε ότι αφού τότε δεν θα υπάρχει πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του ώστε , και άρα τα θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Για να δείξουμε το τελευταίο αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε . Πράγματι τότε θα έχουμε για κάθε . Άρα . Αφού επίσης και τα δύο πολυώνυμα είναι μονικά, τότε όντως .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ώστε . Μπορώ να βρω μονικά πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους ώστε και , όπου . (Απλό αν γράψουμε τα ως γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων.)
Έστω και . Θέτω και . Τότε
Επίσης δεν υπάρχει πολυώνυμο μικρότερου βαθμού από το με αφού τότε θα είχαμε
που αντιβαίνει στο ότι το είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του σε σχέση με το . Ομοίως, το είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του σε σχέση με το .
Θέτω τώρα και παρατηρώ ότι
όπου στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι η είναι γραμμική.
Ισχυρίζομαι τώρα ότι . Αυτό θα ολοκληρώσει την απόδειξη αφού το έχει μεγαλύτερο βαθμό από το . Έστω λοιπόν ότι αυτό δεν ισχύει. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των και ορίζω το ομοίως. Ένα από τα θα έχει μικρότερο βαθμό από το . Έστω το . Τότε
αφού και .
Τότε όμως πρέπει και άρα . Επειδή επιπλέον και πρώτα μεταξύ τους, τότε . Αυτό είναι άτοπο αφού υποθέσαμε ότι το έχει μικρότερο βαθμό από το .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάτι πιο σύντομο.
Έστω το ελάχιστο πολυώνυμο του .
Για , τα στοιχεία του είναι ασφαλώς γραμμικώς εξαρτημένα. Άρα υπάρχει μοναδικό μονικό πολυώνυμο ελάχιστου βαθμού ώστε . Επειδή πρέπει .
Από όλα τα πολυώνυμα παίρνουμε ένα μέγιστου βαθμού, έστω το . Αρκεί να δείξουμε ότι αφού τότε δεν θα υπάρχει πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του ώστε , και άρα τα θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Για να δείξουμε το τελευταίο αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε . Πράγματι τότε θα έχουμε για κάθε . Άρα . Αφού επίσης και τα δύο πολυώνυμα είναι μονικά, τότε όντως .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ώστε . Μπορώ να βρω μονικά πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους ώστε και , όπου . (Απλό αν γράψουμε τα ως γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων.)
Έστω και . Θέτω και . Τότε
Επίσης δεν υπάρχει πολυώνυμο μικρότερου βαθμού από το με αφού τότε θα είχαμε
που αντιβαίνει στο ότι το είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του σε σχέση με το . Ομοίως, το είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του σε σχέση με το .
Θέτω τώρα και παρατηρώ ότι
όπου στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι η είναι γραμμική.
Ισχυρίζομαι τώρα ότι . Αυτό θα ολοκληρώσει την απόδειξη αφού το έχει μεγαλύτερο βαθμό από το . Έστω λοιπόν ότι αυτό δεν ισχύει. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των και ορίζω το ομοίως. Ένα από τα θα έχει μικρότερο βαθμό από το . Έστω το . Τότε
αφού και .
Τότε όμως πρέπει και άρα . Επειδή επιπλέον και πρώτα μεταξύ τους, τότε . Αυτό είναι άτοπο αφού υποθέσαμε ότι το έχει μικρότερο βαθμό από το .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάτι πιο σύντομο.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Ἡ ἀπόδειξή σου εἶναι βεβαίως σωστή. Εἶχα διδάξει παρόμοια αὐτῆς, ἀκολουθῶντας τὴν ἑξῆς ἰδέα (περιληπτικά). Ἄν
ὅπου ἀνάγωγα ἐπὶ τοῦ , τότε ὑπάρχουν , ὥστε , . Κατόπιν μέσω τῶν ὁρίζομε , ὥστε , καὶ ἐν τέλει τὸ στοιχεῖο
κάνει τὴν δουλειὰ μᾶς.
ὅπου ἀνάγωγα ἐπὶ τοῦ , τότε ὑπάρχουν , ὥστε , . Κατόπιν μέσω τῶν ὁρίζομε , ὥστε , καὶ ἐν τέλει τὸ στοιχεῖο
κάνει τὴν δουλειὰ μᾶς.
Re: Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Καλησπερα. Ωραιες οι αποδειξεις. Ηθελα απλα να παρατηρησω οτι το ζητουμενο επεται απο τη ρητη κανονική μορφη πινακων. Πραγματι, αν ο πινακας ειναι ομοιος με ευθυ αθροισμα συνοδων πινακων οπου το πολυωνυμο διαιρει το για κάθε , τότε το ελαχιστο πολυώνυμο του ειναι το και μια επιλογη για το ειναι ο πινακας στηλη , οπου .Δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάτι πιο σύντομο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ἀλλεπάλληλες ἐφαρμογές γραμμικῆς ἀπεικονίσεως
Ναι, αλλά πως αποδεικνύεις την ύπαρξη αυτής της μορφής;pioni1 έγραψε:Ηθελα απλα να παρατηρησω οτι το ζητουμενο επεται απο τη ρητη κανονική μορφη πινακων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες