Διαστάσεις αναπαραστάσεων
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Διαστάσεις αναπαραστάσεων
(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική μη αβελιανή ομάδα τάξεως .
(β) Έστω η πιο πάνω ομάδα. Πόσες κλάσεις συζυγίας έχει η ;
(γ) Ποιες είναι οι διαστάσεις των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ;
Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.
(β) Έστω η πιο πάνω ομάδα. Πόσες κλάσεις συζυγίας έχει η ;
(γ) Ποιες είναι οι διαστάσεις των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ;
Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων
1)Ειναι φανερό ότι υπάρχουν υποομάδες με και στοιχεία.
Η υποομάδα έστω με στοιχεία είναι μοναδική.
Αν υπήρχε και άλλη έστω τότε
και το θα είχε στοιχεία ΑΤΟΠΟ.
Ετσι η θα είναι κανονική.
Εστω ότι αυτή παράγεται από το (είναι κυκλική)
Επίσης έστω το στοιχείο που παράγει μία υποομάδα με στοιχεία.
Εχουμε ότι η αρχική ομάδα παράγεται από τα είναι
και επειδή δεν είναι αβελιανή
Λόγω της κανονικότητας της θα έχουμε
προκύπτει ότι
και όμοια
Αρα οπότε
Ετσι θα έχουμε ότι
Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν
είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό
Αρα υπάρχει ακριβώς μια μη αβελιανή ομάδα με στοιχεία.
2)Ως γνωστόν το πλήθος των στοιχείων μιας κλάσης συζυγίας διαιρεί την τάξη της ομάδας.
Αρα κάθε κλάση συζυγίας έχει η η στοιχεία.
Μια κλάση συζυγίας είνα το .
Αν τότε εχουμε τις κλάσεις
και
Επειδή το άθροισμα των στοιχείων των άλλων κλάσεων είναι αναγκαστικά θα υπάρχουν
άλλες δύο κλάσεις που θα έχει στοιχεία η κάθε μία.
Αρα έχουμε κλάσεις συζυγίας.
Η υποομάδα έστω με στοιχεία είναι μοναδική.
Αν υπήρχε και άλλη έστω τότε
και το θα είχε στοιχεία ΑΤΟΠΟ.
Ετσι η θα είναι κανονική.
Εστω ότι αυτή παράγεται από το (είναι κυκλική)
Επίσης έστω το στοιχείο που παράγει μία υποομάδα με στοιχεία.
Εχουμε ότι η αρχική ομάδα παράγεται από τα είναι
και επειδή δεν είναι αβελιανή
Λόγω της κανονικότητας της θα έχουμε
προκύπτει ότι
και όμοια
Αρα οπότε
Ετσι θα έχουμε ότι
Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν
είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό
Αρα υπάρχει ακριβώς μια μη αβελιανή ομάδα με στοιχεία.
2)Ως γνωστόν το πλήθος των στοιχείων μιας κλάσης συζυγίας διαιρεί την τάξη της ομάδας.
Αρα κάθε κλάση συζυγίας έχει η η στοιχεία.
Μια κλάση συζυγίας είνα το .
Αν τότε εχουμε τις κλάσεις
και
Επειδή το άθροισμα των στοιχείων των άλλων κλάσεων είναι αναγκαστικά θα υπάρχουν
άλλες δύο κλάσεις που θα έχει στοιχεία η κάθε μία.
Αρα έχουμε κλάσεις συζυγίας.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων
Έστω καιΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν
είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό
Ο ισομορφισμός δίνεται θέτοντας . Τα γεννούν την και ικανοποιούν και πιο σημαντικά .
Για το (γ) θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής τρία βασικά αποτελέσματα
(1) Το πλήθος των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με το πλήθος των κλάσεων συζυγίας.
(2) Η διάσταση κάθε ανάγωγης αναπαράστασης διαιρεί την τάξη της ομάδας.
(3) Το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με την τάξη της ομάδας.
Αν λοιπόν οι διαστάσεις, πρέπει για κάθε και . Δεν μπορούμε να έχουμε ή για κάποιο . Πρέπει λοιπόν ή για κάθε . Η δίνει και .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες