Δύο ασκήσεις με αβελιανές

Tolaso J Kos · #1

1. Έστω $\mathcal{G}$ μία πεπερασμένη ομάδα. Αν για κάθε $a, b \in \mathcal{G} \setminus \{e \}$ υπάρχει $f \in {\rm Aut} ({\mathcal{G})$ τέτοια ώστε f(a)=b

τότε αποδείξατε ότι η $\mathcal{G}$ είναι αβελιανή.

2. Αποδείξατε ότι δεν υπάρχει μη αβελιανή πεπερασμένη απλή ομάδα η τάξη της οποίας είναι αριθμός Fibonacci. ( άνευ απάντησης )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 25, 2017 11:34 pm
1. Έστω $\mathcal{G}$ μία πεπερασμένη ομάδα. Αν για κάθε $a, b \in \mathcal{G} \setminus \{e \}$ υπάρχει $f \in {\rm Aut} ({\mathcal{G})$ τέτοια ώστε τότε αποδείξατε ότι η $\mathcal{G}$ είναι αβελιανή.

Επειδή κάθε αυτομορφισμός διατηρεί την τάξη των στοιχείων όλα τα στοιχεία έχουν ίδια τάξη.

Η τάξη αυτή πρέπει να είναι πρώτος έστω ο

.

Είναι φανερό από το θεώρημα του Cauchy ότι η τάξη της ομάδας είναι $p^{n},n\geq 1$

Για n=1,2

είναι γνωστό ότι η ομάδα είναι αβελιανή.

Για τα άλλα

κάνουμε τα εξής:

Αν $\left | G \right |=p^{n}$ τότε το κέντρο της έστω

είναι μη τετριμμένο.

Αρα υπάρχει $a\in Z,a\neq e$

Αρκεί να δείξουμε ότι για

αυτομορφισμό το $f(a)\in Z$ .

Εχουμε για $g\in G$

$f(a)g=gf(a)\Leftrightarrow f^{-1}(f(a)g)=f^{-1}(gf(a))\Leftrightarrow af^{-1}(g)=f^{-1}(g)a$

Αλλά η τελευταία ισχύει αφού $a\in Z$ .

Αρα G=Z

και τελειώσαμε.

Δύο ασκήσεις με αβελιανές

Δύο ασκήσεις με αβελιανές

Re: Δύο ασκήσεις με αβελιανές

Μέλη σε σύνδεση