Σελίδα 1 από 1

Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 13, 2018 11:02 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Εστω P(x,y) πολυώνυμο.

Αν για κάθε \sigma :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}

στροφή με κέντρο το (0,0)

ισχύει P(x,y)=P(\sigma (x,y))

τότε
P(x,y)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}(x^{2}+y^{2})^{k}

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 26, 2018 11:09 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επαναφορά.

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
από AlexandrosG
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 28, 2018 12:38 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
AlexandrosG έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y).
Αυτά δεν είναι στροφές στον \mathbb{R}^{2}
Είναι συμμετρίες ως προς ευθεία.

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 29, 2018 9:02 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
AlexandrosG έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.
Η λύση του Αλέξαντρου είναι σωστότατη.
Το προηγούμενο σχόλιο μου ήταν άστοχο.
Ο λόγος είναι ότι ισχύει για όλες τις στροφές οπότε μια στροφή
μπορεί να εξαρτάται από τα σημεία.
Ζητώ και δημόσια συγνώμη από τον Αλέξαντρο για την ταλαιπωρία που τον έβαλα.
(ανταλλάξαμε π.μ για το θέμα)

Υπάρχουν τουλάχιστον ακόμα δύο λύσεις.
Αν δεν δοθούν σε λίγες μέρες θα τις γράψω.

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 29, 2018 12:42 pm
από Demetres
Το είχα σκεφτεί πριν καιρό αλλά αμέλησα να το γράψω. Ως ιδέα δεν διαφέρει τόσο πολύ από την λύση του Αλέξανδρου. Μάλιστα η λύση του Αλέξανδρου είναι καλύτερη.

Θέτω z = x^2+y^2. Αλλάζοντας κάθε εμφάνιση του y^2 σε z-x^2, μπορώ να γράψω το P ως

P(x,y) = Q_z(x) + yR_z(x)

όπου τα Q_z,R_z είναι πολυώνυμα του x με συντελεστές στο \mathbb{R}[z]. Το P(x,y) είναι σταθερό σε κάθε κύκλο με κέντρο το (0,0) οπότε ισχύει ότι P(x,y) = P(x,-y) για κάθε x,y.

Τότε όμως είναι Q_z(x) = P(x,y) και yR_z(x) = 0 για κάθε x,y με x^2+y^2=z.

Ισχυρίζομαι ότι το Q_z(x) είναι πολυώνυμο στο z. Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει και ότι υπάρχει δύναμη του x (τουλάχιστον 1) με μη μηδενικό συντελεστή. Ο συντελεστής μπορεί να είναι πολυώνυμο στο z. Υπάρχει λοιπόν κατάλληλη θετική τιμή του z, έστω z=z_0, ώστε το Q_{z_0}(x) να είναι μη σταθερό.

Αλλά για κάθε x,x' \in [0,z_0] έχουμε Q_{z_0}(x) = P(x,\sqrt{z_0^2-x^2}) = P(x',\sqrt{z_0^2-(x')^2}) = Q_{z_0}(x'). Άρα το Q_{z_0}(x) είναι σταθερό πολυώνυμο, άτοπο.

Άρα το Q_z(x) είναι όντως πολυώνυμο στο z.

Επίσης, πρέπει R_z(x) = 0 για κάθε x,y με x^2+y^2 = z και y \neq 0. Με παρόμοιο τρόπο όπως πιο πάνω παίρνουμε ότι R_z(x) είναι ταυτοτικά ίσο με 0.

Το ζητούμενο έπεται.