- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Ομομορφισμός ομάδων
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ομομορφισμός ομάδων
Έστω ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pmΈστω ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Κάνω το i
Στην ομάδα εκτός του ουδετέρου το μόνο στοιχείο με πεπερασμένη τάξη είναι το
που έχει τάξη
Στην ομάδα υπάρχουν άπειρα στοιχεία με πεπερασμένη τάξη.
Συγκεκριμένα για πρώτο τα
έχουν τάξη .
Για διαφορετικούς πρώτους είναι διαφορετικά οπότε είναι άπειρα.
Ο ομομορφισμός τα στέλνει στο ουδέτερο.
(η τάξη της εικόνας ενός στοιχείου διαιρεί την τάξη του)
Αρα ο πυρήνας είναι άπειρος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Δεν ξέρω την απάντηση στο ii, αλλά στην προσπάθειά μου να το απαντήσω πέφτω στην εξής
σχετική ερώτηση, ούτε της οποίας ξέρω την απάντηση:
Πέρα από τους ομομορφισμούς , υπάρχουν άλλοι;
Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Ναι, υπάρχουν αλλά είναι δύσκολο να περιγραφούν. Πάντως οι μόνοι συνεχείς αυτομορφισμοί είναι οι παραπάνω της μορφής δηλ. .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pmΠέρα από τους ομομορφισμούς , υπάρχουν άλλοι;
Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.
Η απάντηση στο ερώτημα είναι θετική. Ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος.
Το θέμα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον όπως και ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Προς το παρόν δε γράφω κάτι άλλο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Απαντώ στο ii)Tolaso J Kos έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pmΈστω ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Η απάντηση είναι ότι μπορεί ο πυρήνας μπορεί να είναι αριθμήσιμος η υπεραριθμήσιμος.
Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ομομορφισμός
τότε μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε έναν νέο
ομομορφισμό.
Θα περιγράψουμε όλους αυτούς τους ομομορφισμούς.
Με βάση το
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group
έχουμε
Είναι εύκολο να δούμε ότι
(η είναι ο ισομορφισμός.)
Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς
Επειδή τα στοιχεία του έχουν πεπερασμένη τάξη ενώ
της άπειρη τάξη όλα τα στοιχεία αυτά είναι στον πυρήνα.
Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς
Αυτοί έχουν την εξής μορφή.
Αν Hamel βάση του όπου υπεραριθμήσιμο
και στοιχεία του
υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός με
Διαλέγοντας τα κατάλληλα μπορούμε να έχουμε πυρήνα αριθμήσιμο η υπεραριθμήσιμο
οπότε έχουμε το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες