Ασκήσεις Άλγεβρας

ksofsa · #101

Επαναφορά για την

.

Προσθέτω μια άσκηση:

31)

Έστω

μια πεπερασμένη πολλαπλασιαστική ομάδα πινάκων με μιγαδικά στοιχεία.'Εστω

το άθροισμα των στοιχείων της

. Δείξτε ότι $detM\in \mathbb{Z}$ .

stranger · #102

ksofsa έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 1:19 pm
Επαναφορά για την .

Προσθέτω μια άσκηση:

Έστω μια πεπερασμένη πολλαπλασιαστική ομάδα πινάκων με μιγαδικά στοιχεία.'Εστω το άθροισμα των στοιχείων της . Δείξτε ότι $detM\in \mathbb{Z}$ .

Έστω

ο πίνακας άθροισμα.
Έστω $G=\{A_1,..,A_n\}$ η ομάδα αυτή και

ένα στοιχείο της.
Τότε $G =\{HA_1,...,HA_n\}$ , οπότε M=A_1+..+A_n= H(A_1+..+A_n) = HM

για οποιοδήποτε στοιχείο

της

.
Έστω ότι $det(M) \neq 0$ . Έχουμε (I-H)M=0

.
Οπότε αφού ο

είναι αντιστρέψιμος παίρνουμε H=I

για οποιοδήποτε στοιχείο της

, που σημαίνει $G=\{I\}$ , άρα M=I

και τελικά det(M)=1

.
Άρα τελικά $det(M) \in \{0,1\}$ .

stranger · #103

32)
Εξαιρετικά απλή.
Αποδείξτε χωρίς το θεώρημα του Burnside ότι μια ομάδα τάξης 224 δεν μπορεί να είναι απλή.

ksofsa · #104

Για την 32)

Πράγματι , κλασική άσκηση.

Έστω

με $\left | G \right |=224=2^5\cdot 7$ .

Έστω $r=\left | Syl_{2} (G)\right |$ .

Τότε,αν η

απλή, τότε $r\mid 7(1),r\equiv 1(mod2)(2),\left | G \right |\mid r!(3)$ .

Αν r=1

, έχουμε μια μόνο υποομάδα 2-Sylow

, άρα είναι κανονική, άτοπο.

Αν r=7

, έχουμε $224\mid 5040$ , επίσης άτοπο.

stranger · #105

33)
Δείξτε ότι για κάθε

-πρότυπο της Noether

, κάθε επιμορφισμός $f:M \rightarrow M$ είναι ισομορφισμός.

stranger · #106

34)
Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης 105

που έχει κανονική υποομάδα τάξης

είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την $\mathbb{Z}_{105}$ .

giannispapav · #107

stranger έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 7:54 pm
33)
Δείξτε ότι για κάθε -πρότυπο της Noether , κάθε επιμορφισμός $f:M \rightarrow M$ είναι ισομορφισμός.

Έχουμε την αύξουσα ακολουθία $\mathrm{ker}f \subseteq \mathrm{ker}f^2 \subseteq \ldots$ η οποία είναι τελικά σταθερή, δηλαδή υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ έτσι ώστε $\mathrm{ker}f^n= \mathrm{ker}f^{n+1}$ . Θα δείξουμε ότι $\mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n=\{0\}$ . Πράγματι, αν $x\in \mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n$ τότε f^n(x)=0

και υπάρχει $y\in M$ έτσι ώστε x=f^n(y)

δηλαδή $f^{2n}(y)=0 \Rightarrow y\in \mathrm{ker}f^{2n}$ . Αλλά $\mathrm{ker}f^{2n}=\mathrm{ker}f^{n}$ και άρα $f^n(y)=0 \Rightarrow x=0$ .

Ο

είναι επιμορφισμός, οπότε $\mathrm{Im}f^n=M$ άρα $\{0\}=\mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n=\mathrm{ker}f^n \cap M =\mathrm{ker}f^n \supseteq \mathrm{ker}f$ κατά συνέπεια $\mathrm{ker}f=\{0\}$

stranger · #108

giannispapav έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 7:28 am

stranger έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 7:54 pm
33)
Δείξτε ότι για κάθε -πρότυπο της Noether , κάθε επιμορφισμός $f:M \rightarrow M$ είναι ισομορφισμός.
Έχουμε την αύξουσα ακολουθία $\mathrm{ker}f \subseteq \mathrm{ker}f^2 \subseteq \ldots$ η οποία είναι τελικά σταθερή, δηλαδή υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ έτσι ώστε $\mathrm{ker}f^n= \mathrm{ker}f^{n+1}$ . Θα δείξουμε ότι $\mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n=\{0\}$ . Πράγματι, αν $x\in \mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n$ τότε και υπάρχει $y\in M$ έτσι ώστε δηλαδή $f^{2n}(y)=0 \Rightarrow y\in \mathrm{ker}f^{2n}$ . Αλλά $\mathrm{ker}f^{2n}=\mathrm{ker}f^{n}$ και άρα $f^n(y)=0 \Rightarrow x=0$ .

Ο είναι επιμορφισμός, οπότε $\mathrm{Im}f^n=M$ άρα $\{0\}=\mathrm{ker}f^n\cap \mathrm{Im}f^n=\mathrm{ker}f^n \cap M =\mathrm{ker}f^n \supseteq \mathrm{ker}f$ κατά συνέπεια $\mathrm{ker}f=\{0\}$

Πολύ ωραία!

stranger · #109

stranger έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 8:23 pm
34)
Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης που έχει κανονική υποομάδα τάξης είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την $\mathbb{Z}_{105}$ .

Καμία ιδέα παιδιά;
Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι την Κυριακή το βράδυ θα βάλω τη λύση.

stranger · #110

35) Δείξτε ότι η ομάδα Galois της επέκτασης $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})/\mathbb{Q}$ είναι κυκλική.

stranger · #111

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 8:34 pm

stranger έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 8:23 pm
34)
Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης που έχει κανονική υποομάδα τάξης είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την $\mathbb{Z}_{105}$ .
Καμία ιδέα παιδιά;
Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι την Κυριακή το βράδυ θα βάλω τη λύση.

Έστω

ομάδα με

.
Υπάρχει κανονική ομάδα τάκης

και αυτή η ομάδα είναι κυκλική(αφού έχει τάξη πρώτο αριθμό), που σημαίνει ότι παράγεται από στοιχείο

τάξης

. Οπότε αν $x \in G$ , τότε $xax^{-1} = 1$ η $xax^{-1} = a$ η $xax^{-1} = a^2$ .
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε άτοπο. Στην τρίτη περίπτωση έχουμε $xa^2x^{-1}=a^4=a$ . Οπότε $a^2x^{-1} = x^{-1}a$ , που δίνει $x^{-1} = ax^{-1} a$ .
Οπότε $(ax)^{-1} = (a^2x)^{-1}$ . Οπότε ax = a^2x

, το οποίο είναι άτοπο προφανώς.
Άρα έχουμε $xax^{-1} =a$ για κάθε $x \in G$ . Αυτό σημαίνει ότι το

ανήκει στο κέντρο της

.
Οπότε έχουμε $<a> \leq Z(G)$ .
Έστω ο επιμορφισμός $h: G/<a> \rightarrow G/Z(G)$ με $g \cdot <a> \rightarrow g \cdot Z(G)$ .
Έχουμε ότι |G/<a>|=35

. Σε προηγούμενη άσκηση (Άσκηση 1) έχουμε δείξει ότι κάθε ομάδα τάξης 35 είναι κυκλική.
Οπότε η G/<a>

είναι κυκλική και από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών παίρνουμε ότι η G/Z(G)

είναι ισόμορφη με πηλίκο κυκλικής ομάδας, το οποίο δείχνει ότι η G/Z(G)

είναι κυκλική.
Άρα η

είναι αβελιανή.
Από το θεώρημα δομής πεπερασμένων αβελιανών ομάδων επειδή η τάξη της

είναι αριθμός ελεύθερος τετραγώνων, παίρνουμε ότι η

είναι κυκλική.
Τέλος.

Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση