Τάξη ενός πίνακα

stelmarg · #1

Καλησπέρα σας!
Ήθελα να ρωτήσω 2 ασκήσεις

Άσκηση 1η
Έστω Α 3*3 πίνακας με την ιδιότητα:
Α^3=I
Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Β=Α-I

Άσκηση 2
Έστω V1 και V2 υποχωροι ενός διανυσματικού χώρου V.
Να δείξετε ότι και η ένωση τους V1UV2 είναι υπόχ
ωρος του V αν και μόνο αν ο ένας είναι υπόχωρος του άλλου

#2

stelmarg έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2023 10:30 pm

Άσκηση 1η
Έστω Α 3*3 πίνακας με την ιδιότητα:
Α^3=I
Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Β=Α-I

Άσκηση 2
Έστω V1 και V2 υποχωροι ενός διανυσματικού χώρου V.
Να δείξετε ότι και η ένωση τους V1UV2 είναι υπόχ
ωρος του V αν και μόνο αν ο ένας είναι υπόχωρος του άλλου

Στέλιο, καλό είναι να γράφουμε σε latex, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.

Άσκηση 1η
Όπως είναι διατυπωμένη η ερώτηση, είναι προβληματική. Για παράδειγμα αν A=I

, τότε

και

, που σημαίνει ότι ο A-I

έχει τάξη

. Αντιθέτως αν

$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1& 0& 0\\ 0 & 1 &0 \end{pmatrix}$ , τότε A^3=I

και $A-I= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1& -1& 0\\ 0 & 1 &-1 \end{pmatrix}$ , που είναι μη μηδενικός άρα έχει τάξη

(μάλιστα εύκολα βλέπουμε ότι έχει τάξη

.

Οπότε ποια είναι η απάντηση στο ερώτημα,

ή

;

Άσκηση 2

Έστω ότι ο $V_1\cup V_2$ είναι υπόχωρος και ότι $V_1 \not \subseteq V_2 \, (*)$ . Θα δείξουμε ότι $V_2 \subseteq V_1$ , οπότε ας θεωρήσουμε ένα $x\in V_2 \, (**)$ τυχαίο.

Από την (*)

υπάρχει $y\in V_1$ με $y\not \in V_2$ . Παρατηρούμε ότι $x+y \not \in V_2$ γιατί αν $x+y \in V_2$ τότε από αυτήν και την (**)

θα είχαμε ότι

$y=(x+y)-x \in V_2$ , που αντιβαίνει στην επιλογή του

.

Τώρα, τα $x,y \in V_1\cup V_2$ , που είναι εξ υποθέσεως υπόχωρος. Άρα το $x+y \in V_1\cup V_2$ και άρα ανήκει σε κάποιο από τα $V_1, \, V_2$ . Αλλά είδαμε ότι $x+y \not \in V_2$ , οπότε έχουμε ότι $x+y \in V_1$ . Αλλά τότε

$x= (x+y)-y \in V_1$ , όπως θέλαμε.

To αντίστροφο είναι τετριμμένο.
.

stelmarg · #3

Καλημέρα σας!
Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη για το latex, είμαι στο κινητό και δεν το έχω μάθει ακόμα.
Η πρώτη άσκηση δεν γράφει για την ακρίβεια ${A^3=I}$ αλλά A^2+A+I=0

Μήπως τώρα γίνεται να βρούμε την τάξη του πίνακα B=A-I

;;

#4

stelmarg έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 7:07 am
Καλημέρα σας!
Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη για το latex, είμαι στο κινητό και δεν το έχω μάθει ακόμα.
Η πρώτη άσκηση δεν γράφει για την ακρίβεια ${A^3=I}$ αλλά
Μήπως τώρα γίνεται να βρούμε την τάξη του πίνακα ;;

Ναι, τώρα μπορούμε να απαντήσουμε. Θα δούμε ότι ο πίνακας B=A-I

είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον $-\dfrac {1}{3}(A+2I)$ , οπότε έχει τάξη

(όσο ο χώρος). Πράγματι

$-\dfrac {1}{3} (A-I)(A+2I) = -\dfrac {1}{3}( A^2 + A -2I) = -\dfrac {1}{3}[(A^2 + A +I) -3I] = -\dfrac {1}{3}[O -3I] =I$ , όπως θέλαμε. Και λοιπά.

stelmarg · #5

Μια τελευταία ερώτηση κύριε Μιχάλη.
Πώς γνωρίζουμε την τάξη του πίνακα $-\frac{1}{3}(A+2I)$ ότι είναι το 3;;

#6

stelmarg έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 10:24 pm
Μια τελευταία ερώτηση κύριε Μιχάλη.
Πώς γνωρίζουμε την τάξη του πίνακα $-\frac{1}{3}(A+2I)$ ότι είναι το 3;;

Δεν το χρησιμοποίησα αυτό, αλλά ισχύει.

Αυτό που ισχυρίστηκα είναι ότι, σύμφωνα με την εκφώνηση, ο πίνακας

είναι $3\times 3$ . Άρα ο διανυσματικός χώρος αναφοράς έχει διάσταση

.
Τώρα, ο A-I

(και όμοια ο $-\frac{1}{3}(A+2I)$ ) είναι αντιστρέψιμοw, οπότε είναι επί. Με άλλα λόγια, η εικόνα τους έχει διάσταση

, οπότε εξ ορισμού η τάξη του πίνακα είναι

.

stelmarg · #7

Κατάλαβα!!
Σας ευχαριστώ πολύ! για καλή μια φορά ήσασταν κατατοπιστικότατος!
Καλό Βράδυ!!

Τάξη ενός πίνακα

Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Re: Τάξη ενός πίνακα

Μέλη σε σύνδεση