ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Ιστοσελίδα · #1

Καταρχήν, μερικές ασκήσεις υπολογισμού, που καλύπτουν νομίζω όλο το εύρος των εξεταζόμενων. Ας συμπληρωθούν και άλλες αν χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 71

$1. \int \limits_{0}^{1} \left(x^3 + \sin{x} + \cos{x} \right) dx\\ 2. \int \limits_1^e \frac{x^2 + x + 1}{x} dx\\ 3. \int \limits_1^2 3x\sqrt{x} dx \\ 4. \int \limits_0^1 \frac{x^3 + 8}{x+2} dx \\ 5. \int \limits_1^e \left(e^x - \frac{3}{x} + \cos(2x) \right) dx\\$
ΑΣΚΗΣΗ 72
$1. \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)dx\\ 2. \int \limits_{0}^1 \frac{x+3}{x+1} dx \\ 3. \int \limits_0^1 xe^x dx\\ 4. \int \limits_0^1 x \sin{x} dx\\ 5. \int \limits_0^1 e^x \sin{x} dx\\$
ΑΣΚΗΣΗ 73
$1. \item \int \limits_1^e x^2 e^x dx\\ 2. \item \int \limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx\\ 3. \item \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \frac{\cos{x}}{\sin{x}} dx\\ 4. \item \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}} dx\\ 5. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos{x}}{1+\sin{x}} dx \\$

Ιστοσελίδα · #2

Και η συνέχεια :

ΑΣΚΗΣΗ 74
$1. \item \int \limits_1^e x\ln{x} dx\\ 2. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} x \sin(2x) dx\\ 3. \item \int \limits_0^1 e^x \cos{x} dx\\ 4. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \sin(3x) dx$

ΑΣΚΗΣΗ 75

$1. \item \int \limits_\frac{\pi}{2}^\pi \frac{\sin \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} dx\\ 2. \item \int \limits_0^1 \frac{3x}{x^2+1} dx \\ 3. \item \int \limits_1^e \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{ \ln{x}}} dx 4. \item \int \limits_0^1 \frac{e^x}{e^x+2012} dx$

parmenides51 · #3

ΑΣΚΗΣΗ 76

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

i. $\displaystyle{\int_{ - 1}^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {5x + 1} \right)dx} }$

ii. $\displaystyle{ \int_3^2 {\frac{{3{x^2} - 2x - 6}}{{3{x^2}}}dx} }$

iii. $\displaystyle{\int_1^e {\ln xdx} }$

iv. $\displaystyle{\int_1^2 {x^3\ln xdx} }$

v. $\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sigma \upsilon \nu xdx} }$

ΑΣΚΗΣΗ 77

Θεωρούμε την δυο φορές παραγφωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f''\left( x \right) = 2{e^x}}$
για την οποία ισχύει πως $\displaystyle{f'\left( 0 \right) = 5}$ και $\displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} = 3}$ .
i. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f'\left( 0 \right) = f''\left( 0 \right) + \int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} }$
ii. Να βρείτε την συνάρτηση $\displaystyle{f'\left( x \right)}$
iii. Να βρείτε την συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right)}$
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf''\left( x \right)dx}}$

ΑΣΚΗΣΗ 78

θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{g\left( x \right) = {e^{{x^2} - 4x}} - 3}$ και $\displaystyle{f\left( x \right) = 2\left( {x - 2} \right){e^{{x^2} - 4x}}}$

i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right)}$ είναι παράγουσα της $\displaystyle{f\left( x \right)}$
ii. Να βρείτε την παράγουσα της $\displaystyle{f\left( x \right)}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{(0,1- e)}$
iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{ - 1}^0 {2f\left( x \right)dx} }$
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{ - 2}^2 {\left(3-g''\left( x \right)\right)dx} }$
v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left(g\left( x \right){\color{red}+f\left( x \right)}\right)dx}$

edit: Διόρθωσα το ολοκλήρωμα στην 78.v , ευχαριστώ ξανά τον Ορέστη

parmenides51 · #4

ΑΣΚΗΣΗ 79

Αν για την $\displaystyle{f(x)}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο στο $\displaystyle{\mathbbb{R}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\int_{\,1}^{\,4} {f\left( x \right)dx} = 2}$ και $\displaystyle{\[\int_{\,0}^{\,4} {f\left( x \right)dx} = - 1}$ :
i. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα $\displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} }$ και $\displaystyle{II = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {3f\left( x \right) - {e^x}} \right)dx} }$
ii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf'\left( x \right)dx} = f\left( 1 \right) + 3}$
iii. Θεωρούμε την παράγουσα $\displaystyle{g}$ της $\displaystyle{f}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=2g(4)+3g(1)-\int_{\,g(1)}^{\,g(4)} 2012dx} }$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #5

ΑΣΚΗΣΗ 80

Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$ και ισχύουν $\displaystyle{\int\limits_1^4 {f(x)dx = - 1} ,\int\limits_1^5 {f(x)dx = 2,\int\limits_4^5 {g(x)dx = 1,} } }$

να υπολογίσετε την τιμή των ορισμένων ολοκληρωμάτων

α. $\displaystyle{\int\limits_4^1 {f(x)dx} }$

β. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {f(x)dx} }$

γ. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {3g(x)dx} }$

δ. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) + 3g(x)} \right)dx} }$

ε. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) - 2x} \right)dx} }$

στ. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + \frac{1}{x}} \right)dx} }$

ζ. $\displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + {e^x} - 1} \right)dx} }$

(Από Λ.Θαρραλίδη, εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη)

ΑΣΚΗΣΗ 81

α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f:R \to R}$ , για την οποία γνωρίζουμε $\displaystyle{f'(x) = 6x,x \in R}$ και $\displaystyle{\int\limits_1^2 {f(x)dx = 12} }$

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_1^2 {\left( {3{x^2}f(x) - 5f(x)} \right)dx} }$

γ. Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {\frac{{f(x) - 8}}{{{x^2} + x}}} \right)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{{x^3} - x}}}$

Έγινε τροποποίηση στο πρώτο όριο της 81ής άσκησης.Ευχαριστώ τον Ορέστη για την ενημέρωση

parmenides51 · #6

ΑΣΚΗΣΗ 82

i.Αν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{h}$ που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ διέρχεται από τα σημεία
$\displaystyle{ A(1,20+e)}$ και $\displaystyle{B(2,e-3)}$ , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\,1}^{\,2} {h'\left( x \right)dx} }$

ii. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για $\displaystyle{x= -2 }$ και
ισχύει ότι $\displaystyle{\int_{ - 1}^{ - 2} {\left( {4g''\left( x \right) - 2x - 3} \right)dx} = 4}$ , να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της $\displaystyle{g(x)}$ για $\displaystyle{x= -1}$

iii. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για $\displaystyle{x= 1}$ με τιμή $\displaystyle{3}$ ,
ισχύει πως $\displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {\left( {5f''\left( x \right) - 2f'\left( x \right)}-3e^x \right)dx} = 2012}$ και η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f(x)}$ διέρχεται την αρχή των αξόνων,
να υπολογίσετε την τιμή της $\displaystyle{f'(x)}$ για $\displaystyle{x= 0}$ .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #7

ΑΣΚΗΣΗ 83

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{{\ln x}}}$

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

β. Να μελετηθεί η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

γ. Να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{e}} \right)}$ και $\displaystyle{f\left( {\frac{2}{e}} \right)}$

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{1}{{\ln x}} - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}} \right)dx} }$

Vasilikos · #8

ΑΣΚΗΣΗ 84

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,τη γραφική παράσταση Cf της:

1) $\displaystyle{f(x) = 3{x^2} + 2x + 1}$ και τις ευθείες χ=0,χ=1

2) $\displaystyle{f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}$ και τις ευθείες χ=1,χ=2

3) $\displaystyle{f(x) = \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}}$ και τις ευθείες χ=1,χ=2

4) $\displaystyle{f(x) = x{e^{ - x}}}$ και τις ευθείες χ=0,χ=1

Vasilikos · #9

ΑΣΚΗΣΗ 85

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ και τη γραφική παράσταση Cf:

1) $\displaystyle{f(x) = {x^2} - 4}$

2) $\displaystyle{f(x) = {x^3} - x}$

3) $\displaystyle{f(x) = x({e^x} - e)}$

Vasilikos · #10

ΑΣΚΗΣΗ 86

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,την γραφική παράσταση Cf:

1) $\displaystyle{f(x) = {x^3} + 1}$ και την ευθεία χ=0

2) $\displaystyle{f(x) = \ln x}$ και την ευθεία $\displaystyle{x = \frac{1}{e}}$

3) $\displaystyle{f(x) = {x^2} - 1}$ και την ευθεία χ=2

4) $\displaystyle{f(x) = {x^2} - x}$ και την ευθεία χ=-1

Vasilikos · #11

ΑΣΚΗΣΗ 87

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf :

1) $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ και την ευθεία y=1

2) $\displaystyle{f(x) = \frac{2}{x}}$ και την ευθεία y=-x+3

Vasilikos · #12

ΑΣΚΗΣΗ 88

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση Cf και Cg των συναρτήσεων :

1) $\displaystyle{f(x) = {x^3}}$ και $\displaystyle{g(x) = {x^2}}$

2) $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ και $\displaystyle{g(x) = \sqrt x }$

parmenides51 · #13

ΑΣΚΗΣΗ 89

Δίνονται οι συναρτήσεις $f\left(x \right)=12x^{3}-12x^{2}$ και $g\left(x \right)=12x^{3}-12x$ .
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωριου που περικλείεται μεταξύ:
(i) της $C_{f}$ και του άξονα x'x

(ii) της $C_{f}$ , του άξονα x'x

, του άξονα y'y

και της ευθείας x=2

(iii) της $C_{g}$ και του άξονα x'x

(iv) της $C_{f}$ και της $C_{g}$
(v) της $C_{f}$ , της $C_{g}$ , της ευθείας x=-1

και της ευθείας x=2

όπου $C_{f}$ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left(x \right)$

Η λύση της βρίσκεται εδώ

Ιστοσελίδα · #14

Όλες οι επαναληπτικές ασκήσεις συγκεντρωμένες σε ένα αρχείο.
ΤΟ ανεβάζω χωρίς δεύτερο έλεγχο, γιατί πρέπει ΤΩΡΑ να το έχουμε για το τέλος της επανάληψης.
Θα γίνουν όσες διορθώσεις απαιτηθούν (γράψτε εδώ για ό,τι δείτε ή pm).
Βάζω ένα pdf αρχείο και είναι διαθέσιμο για όποιον θέλει το tex.
Καλή επανάληψη.

Στην τελευταία δημοσίευση το τελικό αρχείο ελεγμένο

parmenides51 · #15

Μια τελευταία έμπνευση - συνδυαστική - για να στρογγυλέψουμε και το σύνολο ...

ΑΣΚΗΣΗ 90

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix} 2x+2 & x<0\\ 2e^x & x \ge 0 \end{matrix}\right.}}$

i. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_o=0}$
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-2}^{1}{f(x)dx}}$
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ ,
τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=-2}$ και $\displaystyle{x=1}$
iv. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών $\displaystyle{f(-1),f(0),f(1),f'(-1),f'(1)}$

Ιστοσελίδα · #16

parmenides51 έγραψε:Μια τελευταία έμπνευση - συνδυαστική - για να στρογγυλέψουμε και το σύνολο ...

ΑΣΚΗΣΗ 90

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix} 2x+2 & x<0\\ 2e^x & x \ge 0 \end{matrix}\right.}}$

i. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_o=0}$
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-2}^{1}{f(x)dx}}$
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ ,
τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=-2}$ και $\displaystyle{x=1}$
iv. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών $\displaystyle{f(-1),f(0),f(1),f'(-1),f'(1)}$

Μήπως από 90-100 να τις κάναμε συνδυαστικές για να "στρογγυλέψει" το νούμερο...Αν και τώρα χλωμό με βλέπω να προλαβαίνω...

parmenides51 · #17

Σωτήρη δεν υπάρχει ο χρόνος να κάνουμε στους μαθητές ούτε τις υπάρχουσες, είναι αρκετές αν αθροίσεις τα θέματα εξετάσεων και τα θέματα ΟΕΦΕ.
Ας ετοιμάσουμε νέα συλλογή του χρόνου. Θα τα περάσω αυτό το Σαββατοκύριακο σε word αλλά με πρόλαβε ο Δημήτρης.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #18

Όλες οι ασκήσεις της συλλογής σε word έχουν ανέβει στο αρχείο του mathematica.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=457
Edit:Εγινε τροποποίηση του αρχείου (4/5/2012).Διορθώθηκαν κάποια ορθογραφικά λάθη.
Ευχαριστώ του Parmenidis51

orestisgotsis · #19

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #20

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μέλη σε σύνδεση