ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Παρ Φεβ 10, 2012 7:11 pm

Ισχύουν ίδιοι κανόνες με εδώ.
Καλό θα ήταν να τις λύσουν μαθητές (σας) και να γράψετε τις λύσεις τους εδώ.

Ξεκινάω με μερικές κατηγορίες ασκήσεων, πριν πάμε σε αυτές με τα πολλά ερωτήματα

ΑΣΚΗΣΗ 21

Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός \displaystyle{\alpha } στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) \displaystyle{f\left( x \right) = 2x - 3\alpha } όταν \displaystyle{f(0)-f(1)= f(-1) }

ii) \displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{2x + \alpha }}{{ - 4x + 8}}, x\neq 2} όταν \displaystyle{2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} g\left( x \right) = 5}

iii) \displaystyle{h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3x + \alpha  - 1\,,\,\,\,x \le 0}\\
{\,\,\,3 - 2\ln x\,\,\,,\,\,\,x > 0}
\end{array}} \right} όταν \displaystyle{3h(-2)-2h(e) = 4\alpha -5 }

edit: αλλαγή αρίθμησης
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Φεβ 10, 2012 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από parmenides51 » Παρ Φεβ 10, 2012 7:36 pm

ΑΣΚΗΣΗ 22

Να υπολογίσετε τα όρια:

\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,1} \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}}

\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{\sqrt { - x + 2}  + x}}{{3 - \sqrt {{x^2} + 5} }}}

edit: αλλαγή αρίθμησης
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Φεβ 10, 2012 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από parmenides51 » Παρ Φεβ 10, 2012 7:58 pm

ΑΣΚΗΣΗ 23

Να υπολογίσετε τα όρια:

\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,2} \frac{{3\sqrt {x + 2}  - 2\sqrt {5x - 1} }}{{4{x^3} - 15x - 2}}}

\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,1} \frac{{{2x^2}{e^x} - 3x{e^x}+e^x}}{{x^2f\left( x \right) - x f\left( x  \right)}}} όπου \displaystyle{f} συνάρτηση συνεχής

της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο \displaystyle{M(1,2012)}


edit: Αλλαγή προσήμου στον αριθμητή του δεύτερου ορίου, ευχαριστώ πάλι Ορέστη
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Απρ 23, 2012 12:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2012 8:25 pm

ΑΣΚΗΣΗ 24

Δίνονται οι συνάρτήσεις \displaystyle{f(x) = \sqrt {x + 1}  - 1} και \displaystyle{g(x) = \sqrt {x - 1}  + 3}

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \displaystyle{f} και \displaystyle{g}

β. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\frac{{f(x) - 1}}{{x^2  - 5x + 6}}} \right)}

γ. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{2g(x) - 4x}}{{8 - x^3 }}} \right)}

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{A = f(3) - 2g(5) + f(0)}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2012 10:22 pm

ΑΣΚΗΣΗ 25

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{
f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{{x^2  + \alpha x - 3\alpha }}{{x^3  - 2x^2  + 4x - 8}},\;\;\;x < 2 \\ 
  \\ 
 \displaystyle \ x - \gamma ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 2 \\ 
  \\ 
\displaystyle \frac{{\beta (\sqrt {x^2  + 12}  - 4)}}{{x - 2}},\;\;\;\;x > 2 \\ 
 \end{array} \right.
}

α. Αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} διέρχεται από το σημείο \displaystyle{{\rm M}( - 1,1)}, να δείξετε οτι \displaystyle{\alpha  = 4}

Για \displaystyle{\alpha  = 4}

β. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ -  } f(x)}

γ. Να βρεθεί το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ +  } f(x)}

δ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των \displaystyle{\beta ,\gamma  \in R} ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} να είναι συνεχής στο \displaystyle{x_0  = 2}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Φεβ 12, 2012 6:52 pm

ΑΣΚΗΣΗ 26

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

α. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\frac{{x^2  - 9}}{{2x^2  - 9x + 9}}} \right)}

β. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^3  - 3x^2  + 4}}{{x^2  - 4x + 4}}} \right)}

γ. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x^2  - 1}}} \right)}

δ. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}} - \frac{3}{{x^2  - x}}} \right)}

ε. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {x - 1}  - \sqrt {3 - x} }}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}} \right)}

στ. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^3  - 8}}{{\sqrt {x^2  + 5}  - 3}}} \right)}

ζ. \bullet\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {\frac{{x^4  + 5x^3  + 3x^2  + 1}}{{x^2  + x}}} \right)}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Φεβ 12, 2012 10:53 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{x^2  + 5x + 6}}{{x^2  + x}}}

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β. Να βρείτε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left[ {\left( {\sqrt {x + 5}  - 2} \right)f(x)} \right]}

γ. Να βρείτε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {\frac{{f(x)}}{{x^2  - 4}}} \right)}

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{
g(x) = \left\{ \begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{{\displaystyle\ f(x) - f(1)}}{{\displaystyle\ x - 1}},x \in (1, + \infty ) \\ 
 \alpha ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x = 1 \\ 
 \end{array} \right.
}

δ. Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\alpha  \in R} ώστε η συνάρτηση \displaystyle{g} να είναι συνεχής στο \displaystyle{x_0  = 1}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από parmenides51 » Κυρ Φεβ 12, 2012 11:19 pm

ΑΣΚΗΣΗ 28

Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{\alpha,\beta } στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) \displaystyle{f\left( x \right) = \alpha \ln x + 2\beta} με \displaystyle{x>0} όταν η γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x)} διέρχεται από τα σημεία \displaystyle{(1,6)} και \displaystyle{(e,-3)}

ii) \displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha x - 2} & ,x \ne 3\\
{{\beta ^2} {\color{red}+} 2a-1} & ,x = 3
\end{array}} \right} όταν \displaystyle{g(3) =2g(-1)=4}

iii) \displaystyle{h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {x + 2}  - 3\alpha \,\,\,\,\,,\, - 2 \le x < 8}\\
{\beta \sqrt x  + 2\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 9}
\end{array}} \right} όταν η γραφική παράσταση της \displaystyle{h(x)} διέρχεται από τα σημεία \displaystyle{(2,\alpha^2+2)} και \displaystyle{(9,11\alpha)}

edit Αλλαγή προσήμου
Άντε να κρυφτείς από τον Ορέστη ...
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Πέμ Μάιος 17, 2012 1:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Δευ Φεβ 13, 2012 2:31 pm

ΑΣΚΗΣΗ 29

Δινεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{{\sqrt {2x^2  + 2x + 1}  - 1}}{x},x < 0 \\ 
 \alpha  + \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x = 0 \\ 
 x^2  + \alpha x - \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ,x > 0 \\ 
 \end{array} \right.}

α. Να βρεθεί το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ -  } f(x)}

β. Να βρεθεί το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } f(x)}

γ. Να βρεθούν οι τιμές των \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} για τις οποιες η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{x_0  = 0}

δ. Για τις τιμές των \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης \displaystyle{A = 2f(0) - f(1) + f( - 1)}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Φεβ 13, 2012 9:58 pm

Άσκηση 30

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}} & {,x <  - 1}  \\
   {\kappa x + 2\mu } & {, - 1 \le x \le 1}  \\
   {\frac{{{x^3} + 6{x^2} - 7x}}{{{x^2} - x}}} & {,x > 1}  \\
\end{array}} \right.

όπου \kappa ,\mu πραγματικοί αριθμοί. Υπολογίστε:
α) Τα όρια \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)

β) Τα όρια \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)

γ) Τα \kappa ,\mu αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R

Σημείωση: Για να βοηθήσω τον φάκελο και να ανταποκριθώ στην πρόσκληση του Δημήτρη!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Φεβ 13, 2012 10:05 pm

Άσκηση 31

Α) Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

α) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ + }} f(x) =

β) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) =

γ) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) =

δ) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =

ε) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) =

στ) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) =

ζ) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) =

η) \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^{^ - }}} f(x) = ……

Β) Βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι ασυνεχής

Γ) Βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συνεχής

Δ) Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
Συνημμένα
EPAL.jpg
EPAL.jpg (19.41 KiB) Προβλήθηκε 2582 φορές


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από parmenides51 » Τρί Φεβ 14, 2012 10:33 pm

ΑΣΚΗΣΗ 32

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha {x^2} - \beta x + 3}\\
{3\alpha  - 6}\\
\displaystyle{\frac{{{x^2} + \beta }}{{2 + x}}}
\end{array}\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}
{,\,\,x <  - 1}\\
{,\,\,x =  - 1}\\
{,\,\,x >  - 1}
\end{array}} \right} με \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R}

i. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right)}

ii. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ +}} f\left( x \right)}

iii. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{\alpha} ώστε να υπάρχει το \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)

iv. Για \displaystyle{\alpha=-2} , να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{\beta } ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} να είναι συνεχής στο \displaystyle{{x_o} =  - 1}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από parmenides51 » Παρ Φεβ 17, 2012 6:00 pm

ΑΣΚΗΣΗ 33

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\displaystyle{\frac{{\alpha \left( {\sqrt {x + 3}  - 2} \right)}}{{2x - 2}}\,\,\,, - 3 \le x < 1}\\
\\
\displaystyle{\frac{{5\alpha }}{8} + 2\beta \,\,\,\,\,,\,\,\,x = 1}\\
\\
\displaystyle{\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - x}}\,\,\,,x > 1\,\,\,}
\end{array}} \right.} με \alpha,\beta   \in \mathbb{R}.

i. Να υπολογίσετε το όριο \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) .

ii. Να υπολογίσετε το όριο \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right).

iii. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \alpha ώστε να υπάρχει το όριο \mathop {\lim }\limits_{x \to {1}} f\left( x \right).

iv. Για \alpha=8, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \beta ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} να είναι συνεχής στο \displaystyle{x_0=1}.

v. Για \alpha=8, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{K=f(-2)-f^2(2)}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από parmenides51 » Δευ Φεβ 20, 2012 9:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 34

Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x - 3\,\,\,\,,x \le k}\\
{4x - 1\,\,\,,x > k}
\end{array}} \right} και \displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)-k^2\,\,\,\,,x \neq2}\\
{-4k^3 -3 k\,\,\,,x = 2}
\end{array}} \right} με \displaystyle{k \in\mathbb{R}}.
i. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {k^ - }} f\left( x \right)}
ii. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {k^ + }} f\left( x \right)}
iii. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{k} ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} να είναι συνεχής στο \displaystyle{x_1=k} .
Για \displaystyle{k=-1} :
iv. να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2 }} g\left( x \right)}
v. να εξετάσετε εαν η συνάρτηση \displaystyle{g} είναι συνεχής στο \displaystyle{x_2=2}.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από parmenides51 » Δευ Φεβ 20, 2012 9:54 pm

ΑΣΚΗΣΗ 35

Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3a{e^{x - 5}} - 2x\,\,\,\,\,\,,x \le 5\,\,\,\,}\\
{2\ln \left( {x - 4} \right) + 3\beta  + 2\alpha \,\,,x > 5\,}
\end{array}} \right.} και \displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\,\,\,\alpha \,\ln \left( {{x^2} + e} \right) + {{2011}^x}\,,x \ne 0\,\,\,\,}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 - \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x = 0\,}
\end{array}} \right.} με .
i. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right)}.
ii. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)}.
iii. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}.
iv. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{\alpha } και \displaystyle{\beta} ώστε να είναι συνεχείς η συνάρτηση \displaystyle{f} στο \displaystyle{x_1=5 } και η συνάρτηση \displaystyle{g} στο \displaystyle{x_2=0 }.
v. Για \displaystyle{\alpha=4} και \displaystyle{\beta=-2}, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{K = 2f\left( 0 \right) - 3f\left( {e + 4} \right) - {g^2}\left( 0 \right)-2012}.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Δευ Φεβ 20, 2012 11:07 pm

ΑΣΚΗΣΗ 36

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}{{{x^2} - 3x}},\;\;x > 3\\
\ \\
\displaystyle{\lambda ^2}x - 11\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x \le 3
\end{array} \right.}

α. Να βρεθούν τα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)}

β. Να προσδιορίσετε τις τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} για τις οπόιες η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{{x_0} = 3}

γ. Για τις τιμές του \displaystyle{\lambda } που βρήκατε στο β. Ερώτημα να υπόλογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - ({\lambda ^2} + 2)x + 5}}{{x - 5}}}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Παρ Μάιος 18, 2012 12:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Δευ Φεβ 20, 2012 11:25 pm

ΑΣΚΗΣΗ 37

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{5x - 10}}{{x + 1 - \sqrt {x + 7} }}\;\;\;\;,x > 2\\
\ \\
\displaystyle\alpha {x^2} - 5x + 4\alpha \;\;\;\;\;,x \le 2
\end{array} \right.}

α. Να βρεθούν τα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)}

β. Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\alpha  \in R} για την οποία η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{R}

γ. Για \displaystyle{\alpha  = 2} να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}} \right)}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Φεβ 21, 2012 12:19 am

ΑΣΚΗΣΗ 38

Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f(x) = \sqrt {9 - {x^2}} } και \displaystyle{g(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}}

α. Να προσδιορίσετε τα πεδία ορισμού των \displaystyle{f} και \displaystyle{g}

β. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και τον τύπο για την συνάρτηση \displaystyle{h(x) = {f^2}(x) \cdot g(x)}

γ. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} h(x)}

δ. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 5 } \left( {\frac{{f(x) - 2}}{{ x  - \sqrt 5 }}} \right)}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Παρ Μάιος 18, 2012 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Φεβ 21, 2012 1:57 am

ΑΣΚΗΣΗ 39

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle3 - \alpha {x^2},\;\;\alpha \nu \;\left| x \right| < 1\\
\ \\
\displaystyle{5{x^2},\;\;\alpha \nu \;x = 1\;\;\;\dot \eta \;\;x =  - 1} \\
\ \\
\displaystyle\frac{\beta }{{\left| x \right|}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \nu \;\left| x \right| > 1
\end{array} \right.}


α.Να βρεθούν τα όρια \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)}

β.Να βρεθούν τα όρια \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to   {1^ - }} f(x)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to   {1^ + }} f(x)}

γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} για τις οποίες η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{R}

δ. Για \displaystyle{\alpha  = -2} και \displaystyle{\beta  = 5}, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{A = f(0) + f(2) - 4f(\frac{1}{2})}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από parmenides51 » Τρί Φεβ 21, 2012 7:45 am

ΑΣΚΗΣΗ 40 (τελευταία)

Θεωρούμε τις συναρτήσεις \displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {5x + 10},x\geq -2 } και \displaystyle{g\left( x \right) = {x^2} + 3}
i. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f\left(3+h\right) = \sqrt {5h + 25},h\geq -5 } και \displaystyle{g\left(3+h\right) ={h^2} +6h+12 }
ii. Να υπολογίσετε τα όρια
\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 3 \right)}}{h}}
\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{g\left( {3 + h} \right) - g\left( 3 \right)}}{h}}
\displaystyle{C=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 3 \right)}}{{g\left( {3 + h} \right) - g\left( 3 \right)}}}
\displaystyle{D=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,-1} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 2 \right)}}{3h+g(0)}}

Η αρίθμηση συνεχίζεται στην συλλογή παραγώγων εδώ



Επιστροφή σε “ΕΠΑ.Λ.”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης