ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από polysot » Παρ Μαρ 09, 2012 11:49 pm

Καταρχήν, μερικές ασκήσεις υπολογισμού, που καλύπτουν νομίζω όλο το εύρος των εξεταζόμενων. Ας συμπληρωθούν και άλλες αν χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 71

1.  \int \limits_{0}^{1} \left(x^3 + \sin{x} + \cos{x} \right) dx\\
2.  \int \limits_1^e \frac{x^2 + x + 1}{x} dx\\
3.  \int \limits_1^2 3x\sqrt{x} dx \\
4.  \int \limits_0^1 \frac{x^3 + 8}{x+2} dx \\
5.  \int \limits_1^e \left(e^x - \frac{3}{x} + \cos(2x) \right) dx\\
ΑΣΚΗΣΗ 72
1.  \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)dx\\
2.  \int \limits_{0}^1 \frac{x+3}{x+1} dx \\
3.  \int \limits_0^1 xe^x dx\\
4.  \int \limits_0^1 x \sin{x} dx\\
5.  \int \limits_0^1 e^x \sin{x} dx\\
ΑΣΚΗΣΗ 73
1. \item \int \limits_1^e x^2 e^x dx\\
2. \item \int \limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx\\
3. \item \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \frac{\cos{x}}{\sin{x}} dx\\
4. \item \int \limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3} \frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}} dx\\
5. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos{x}}{1+\sin{x}} dx \\
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Τρί Μαρ 13, 2012 12:29 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από polysot » Σάβ Μαρ 10, 2012 12:02 am

Και η συνέχεια :

ΑΣΚΗΣΗ 74
1. \item \int \limits_1^e x\ln{x} dx\\ 
2. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} x \sin(2x) dx\\
3. \item \int \limits_0^1 e^x \cos{x} dx\\
4. \item \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \sin(3x) dx

ΑΣΚΗΣΗ 75


1. \item \int \limits_\frac{\pi}{2}^\pi \frac{\sin \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} dx\\
2. \item \int \limits_0^1 \frac{3x}{x^2+1} dx \\
3. \item \int \limits_1^e \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{ \ln{x}}} dx
4. \item \int \limits_0^1 \frac{e^x}{e^x+2012} dx
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Τρί Μαρ 13, 2012 12:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από parmenides51 » Κυρ Μαρ 11, 2012 12:02 pm

ΑΣΚΗΣΗ 76

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

i. \displaystyle{\int_{ - 1}^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {5x + 1} \right)dx} }

ii. \displaystyle{ \int_3^2 {\frac{{3{x^2} - 2x - 6}}{{3{x^2}}}dx} }

iii. \displaystyle{\int_1^e {\ln xdx} }

iv. \displaystyle{\int_1^2 {x^3\ln xdx} }

v. \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sigma \upsilon \nu xdx} }


ΑΣΚΗΣΗ 77

Θεωρούμε την δυο φορές παραγφωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f(x)} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} με \displaystyle{f''\left( x \right) = 2{e^x}}
για την οποία ισχύει πως \displaystyle{f'\left( 0 \right) = 5} και \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx}  = 3}.
i. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f'\left( 0 \right) = f''\left( 0 \right) + \int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} }
ii. Να βρείτε την συνάρτηση \displaystyle{f'\left( x \right)}
iii. Να βρείτε την συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right)}
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf''\left( x \right)dx}}

ΑΣΚΗΣΗ 78

θεωρούμε τις συναρτήσεις \displaystyle{g\left( x \right) = {e^{{x^2} - 4x}} - 3} και \displaystyle{f\left( x \right) = 2\left( {x - 2} \right){e^{{x^2} - 4x}}}

i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right)} είναι παράγουσα της \displaystyle{f\left( x \right)}
ii. Να βρείτε την παράγουσα της \displaystyle{f\left( x \right)} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{(0,1- e)}
iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{ - 1}^0 {2f\left( x \right)dx} }
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{ - 2}^2 {\left(3-g''\left( x \right)\right)dx} }
v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left(g\left( x \right){\color{red}+f\left( x \right)}\right)dx}

edit: Διόρθωσα το ολοκλήρωμα στην 78.v , ευχαριστώ ξανά τον Ορέστη
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Μάιος 12, 2012 9:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από parmenides51 » Κυρ Μαρ 11, 2012 12:37 pm

ΑΣΚΗΣΗ 79

Αν για την \displaystyle{f(x)} με συνεχή πρώτη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbbb{R}} ισχύει ότι \displaystyle{\int_{\,1}^{\,4} {f\left( x \right)dx}  = 2} και \displaystyle{\[\int_{\,0}^{\,4} {f\left( x \right)dx}  =  - 1} :
i. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} } και \displaystyle{II = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {3f\left( x \right) - {e^x}} \right)dx} }
ii. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) + 3}
iii. Θεωρούμε την παράγουσα \displaystyle{g} της \displaystyle{f} της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{K=2g(4)+3g(1)-\int_{\,g(1)}^{\,g(4)} 2012dx}  }


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Μαρ 11, 2012 12:51 pm

ΑΣΚΗΣΗ 80

Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g} είναι συνεχής στο \displaystyle{R} και ισχύουν \displaystyle{\int\limits_1^4 {f(x)dx =  - 1} ,\int\limits_1^5 {f(x)dx = 2,\int\limits_4^5 {g(x)dx = 1,} } }

να υπολογίσετε την τιμή των ορισμένων ολοκληρωμάτων

α. \displaystyle{\int\limits_4^1 {f(x)dx} }

β. \displaystyle{\int\limits_4^5 {f(x)dx} }

γ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {3g(x)dx} }

δ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) + 3g(x)} \right)dx} }

ε. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) - 2x} \right)dx} }

στ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + \frac{1}{x}} \right)dx} }

ζ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + {e^x} - 1} \right)dx} }

(Από Λ.Θαρραλίδη, εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη)

ΑΣΚΗΣΗ 81

α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{f:R \to R}, για την οποία γνωρίζουμε \displaystyle{f'(x) = 6x,x \in R} και \displaystyle{\int\limits_1^2 {f(x)dx = 12} }

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_1^2 {\left( {3{x^2}f(x) - 5f(x)} \right)dx} }

γ. Να υπολογίσετε τα όρια \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {\frac{{f(x) - 8}}{{{x^2} + x}}} \right)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{{x^3} - x}}}

Έγινε τροποποίηση στο πρώτο όριο της 81ής άσκησης.Ευχαριστώ τον Ορέστη για την ενημέρωση
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Σάβ Μάιος 12, 2012 8:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από parmenides51 » Κυρ Μαρ 11, 2012 1:15 pm

ΑΣΚΗΣΗ 82

i.Αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{h} που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} διέρχεται από τα σημεία
\displaystyle{ A(1,20+e)} και \displaystyle{B(2,e-3)}, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\,1}^{\,2} {h'\left( x \right)dx} }

ii. Αν η συνάρτηση \displaystyle{g} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για \displaystyle{x= -2 } και
ισχύει ότι \displaystyle{\int_{ - 1}^{ - 2} {\left( {4g''\left( x \right) - 2x - 3} \right)dx}  = 4} , να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της \displaystyle{g(x)} για \displaystyle{x= -1}

iii. Αν η συνάρτηση \displaystyle{f} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για \displaystyle{x= 1} με τιμή \displaystyle{3} ,
ισχύει πως \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {\left( {5f''\left( x \right) - 2f'\left( x \right)}-3e^x \right)dx}  = 2012} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x)} διέρχεται την αρχή των αξόνων,
να υπολογίσετε την τιμή της \displaystyle{f'(x)} για \displaystyle{x= 0}.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Μαρ 13, 2012 9:13 pm

ΑΣΚΗΣΗ 83

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{x}{{\ln x}}}

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \displaystyle{f}

β. Να μελετηθεί η συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

γ. Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{f\left( {\frac{1}{e}} \right)} και \displaystyle{f\left( {\frac{2}{e}} \right)}

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{1}{{\ln x}} - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}} \right)dx} }


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Vasilikos
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 10, 2011 3:54 am

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Vasilikos » Δευ Μαρ 19, 2012 10:40 pm

ΑΣΚΗΣΗ 84

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,τη γραφική παράσταση Cf της:

1) \displaystyle{f(x) = 3{x^2} + 2x + 1} και τις ευθείες χ=0,χ=1

2)\displaystyle{f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} και τις ευθείες χ=1,χ=2

3)\displaystyle{f(x) = \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}} και τις ευθείες χ=1,χ=2

4)\displaystyle{f(x) = x{e^{ - x}}} και τις ευθείες χ=0,χ=1


Vasilikos
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 10, 2011 3:54 am

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Vasilikos » Δευ Μαρ 19, 2012 10:44 pm

ΑΣΚΗΣΗ 85


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ και τη γραφική παράσταση Cf:

1) \displaystyle{f(x) = {x^2} - 4}

2) \displaystyle{f(x) = {x^3} - x}

3) \displaystyle{f(x) = x({e^x} - e)}


Vasilikos
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 10, 2011 3:54 am

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Vasilikos » Δευ Μαρ 19, 2012 10:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 86

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,την γραφική παράσταση Cf:

1) \displaystyle{f(x) = {x^3} + 1} και την ευθεία χ=0

2) \displaystyle{f(x) = \ln x} και την ευθεία \displaystyle{x = \frac{1}{e}}

3) \displaystyle{f(x) = {x^2} - 1} και την ευθεία χ=2

4) \displaystyle{f(x) = {x^2} - x} και την ευθεία χ=-1


Vasilikos
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 10, 2011 3:54 am

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Vasilikos » Δευ Μαρ 19, 2012 10:56 pm

ΑΣΚΗΣΗ 87

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf :

1) \displaystyle{f(x) = {x^2}} και την ευθεία y=1

2) \displaystyle{f(x) = \frac{2}{x}} και την ευθεία y=-x+3


Vasilikos
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 10, 2011 3:54 am

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Vasilikos » Δευ Μαρ 19, 2012 10:58 pm

ΑΣΚΗΣΗ 88


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση Cf και Cg των συναρτήσεων :

1)\displaystyle{f(x) = {x^3}} και \displaystyle{g(x) = {x^2}}

2) \displaystyle{f(x) = {x^2}} και \displaystyle{g(x) = \sqrt x }


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από parmenides51 » Σάβ Απρ 07, 2012 5:54 pm

ΑΣΚΗΣΗ 89

Δίνονται οι συναρτήσεις f\left(x \right)=12x^{3}-12x^{2} και g\left(x \right)=12x^{3}-12x.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωριου που περικλείεται μεταξύ:
(i) της C_{f} και του άξονα x'x
(ii) της C_{f}, του άξονα x'x, του άξονα y'y και της ευθείας x=2
(iii) της C_{g} και του άξονα x'x
(iv) της C_{f} και της C_{g}
(v) της C_{f}, της C_{g}, της ευθείας x=-1 και της ευθείας x=2
όπου C_{f} είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f\left(x \right)


Η λύση της βρίσκεται εδώ


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από polysot » Δευ Απρ 23, 2012 11:21 pm

Όλες οι επαναληπτικές ασκήσεις συγκεντρωμένες σε ένα αρχείο.
ΤΟ ανεβάζω χωρίς δεύτερο έλεγχο, γιατί πρέπει ΤΩΡΑ να το έχουμε για το τέλος της επανάληψης.
Θα γίνουν όσες διορθώσεις απαιτηθούν (γράψτε εδώ για ό,τι δείτε ή pm).
Βάζω ένα pdf αρχείο και είναι διαθέσιμο για όποιον θέλει το tex.
Καλή επανάληψη.

Στην τελευταία δημοσίευση το τελικό αρχείο ελεγμένο
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Πέμ Ιουν 07, 2012 9:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από parmenides51 » Παρ Απρ 27, 2012 9:01 am

Μια τελευταία έμπνευση - συνδυαστική - για να στρογγυλέψουμε και το σύνολο ...

ΑΣΚΗΣΗ 90

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix}
2x+2 & x<0\\ 
2e^x & x \ge 0
\end{matrix}\right.}}

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{x_o=0}
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-2}^{1}{f(x)dx}}
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της \displaystyle{f} ,
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=-2} και \displaystyle{x=1}
iv. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών \displaystyle{f(-1),f(0),f(1),f'(-1),f'(1)}


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από polysot » Παρ Απρ 27, 2012 9:13 am

parmenides51 έγραψε:Μια τελευταία έμπνευση - συνδυαστική - για να στρογγυλέψουμε και το σύνολο ...

ΑΣΚΗΣΗ 90

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix}
2x+2 & x<0\\ 
2e^x & x \ge 0
\end{matrix}\right.}}

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{x_o=0}
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-2}^{1}{f(x)dx}}
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της \displaystyle{f} ,
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=-2} και \displaystyle{x=1}
iv. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών \displaystyle{f(-1),f(0),f(1),f'(-1),f'(1)}


Μήπως από 90-100 να τις κάναμε συνδυαστικές για να "στρογγυλέψει" το νούμερο...Αν και τώρα χλωμό με βλέπω να προλαβαίνω...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από parmenides51 » Παρ Απρ 27, 2012 11:05 am

Σωτήρη δεν υπάρχει ο χρόνος να κάνουμε στους μαθητές ούτε τις υπάρχουσες, είναι αρκετές αν αθροίσεις τα θέματα εξετάσεων και τα θέματα ΟΕΦΕ.
Ας ετοιμάσουμε νέα συλλογή του χρόνου. Θα τα περάσω αυτό το Σαββατοκύριακο σε word αλλά με πρόλαβε ο Δημήτρης.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Απρ 29, 2012 12:46 am

Όλες οι ασκήσεις της συλλογής σε word έχουν ανέβει στο αρχείο του mathematica.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=457
Edit:Εγινε τροποποίηση του αρχείου (4/5/2012).Διορθώθηκαν κάποια ορθογραφικά λάθη.
Ευχαριστώ του Parmenidis51


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από orestisgotsis » Παρ Μάιος 11, 2012 2:35 pm

parmenides51 έγραψε:Μια τελευταία έμπνευση - συνδυαστική - για να στρογγυλέψουμε και το σύνολο ...

ΑΣΚΗΣΗ 90

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix}
2x+2 & x<0\\ 
2e^x & x \ge 0
\end{matrix}\right.}}

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{x_o=0}
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-2}^{1}{f(x)dx}}
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της \displaystyle{f} ,
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=-2} και \displaystyle{x=1}
iv. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών \displaystyle{f(-1),f(0),f(1),f'(-1),f'(1)}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 90

i) Είναι\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+2 \right)=2\,\,\,(1)},\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,2{{e}^{x}}=2\,\,\,(2)}, f(0)=2\,\,\,(3).

Από \displaystyle{(1),(2),(3)\Rightarrow f συνεχής στο \displaystyle{{{x}_{0}}=0.

ii) Έχουμε \displaystyle{\int_{\,-2}^{\,\,1}{f(x)dx}=\int_{\,-2}^{\,\,0}{\left( 2x+2 \right)dx+\int_{\,\,0}^{\,\,1}{2{{e}^{x}}dx}}=\left[ {{x}^{2}}+2x \right]_{-2}^{0}+\left[ 2{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=

\displaystyle{=({{0}^{2}}+2\cdot 0)-\left[ {{(-2)}^{2}}+2(-2) \right]+2{{e}^{1}}-2{{e}^{0}}=2e-2}

iii) Είναι \displaystyle{E=\int_{-2}^{\,0}{\left| 2x+2 \right|dx}+\int_{0}^{\,1}{\left| 2{{e}^{x}} \right|}\,dx. Όμως \displaystyle{2{{e}^{x}}>0, \displaystyle{2x+2<0\Leftrightarrow 2x<-2\Leftrightarrow x<-1, οπότε \displaystyle{2x+2>0\Leftrightarrow x>-1, άρα
\displaystyle{E=\int_{\,-2}^{\,-1}{(-2x-2)dx}+\int_{-1}^{\,0}{(2x+2)dx}+\int_{\,0}^{\,1}{2{{e}^{x}}dx}=
\displaystyle{=-\int_{\,-2}^{\,-1}{(2x+2)dx}+\int_{-1}^{\,0}{(2x+2)dx}+\int_{\,0}^{\,1}{2{{e}^{x}}dx}=
\displaystyle{=\int_{\,-1}^{\,-2}{(2x+2)dx}+\int_{-1}^{\,0}{(2x+2)dx}+\int_{\,0}^{\,1}{2{{e}^{x}}dx}=
\displaystyle{=\left[ {{x}^{2}}+2x \right]_{-1}^{-2}+\left[ {{x}^{2}}+2x \right]_{-1}^{0}+\left[ 2{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=
\displaystyle{={{(-2)}^{2}}+2(-2)-\left[ {{(-1)}^{2}}+2(-1) \right]+0-\left[ {{(-1)}^{2}}+2(-1) \right]+2{{e}^{1}}-2{{e}^{0}}=2e\,\tau .\,\mu o\nu .

iv) \displaystyle{f(-1)=2(-1)+2=0,\,\,\,f(0)=2{{e}^{0}}=2,\,\,\,f(1)=2{{e}^{1}}=2e,

για \displaystyle{x<0\Rightarrow {f}'(x)=2\Rightarrow {f}'(-1)=2, ενώ για x> 0\Rightarrow {f}'(x)=2{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'(1)=2e.

Τότε \displaystyle{\bar{x}=\frac{0+2+2e+2+2e}{5}=\frac{4}{5}\left( e+1 \right)

Διατάσουμε τις τιμές σε αύξουσα σειρά \displaystyle{0,\,2,\,2,\,2e,\,2e και είναι \displaystyle{\delta ={{x}_{\tfrac{5+1}{2}}}={{x}_{3}}=2

Διόρθωση. Είχα γράψει: για \displaystyle{x\ge 0\Rightarrow {f}'(x)=2{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'(1)=2e}.
Παραθέτω, για διδακτικούς σκοπούς, την ειδοποίηση του parmenides51.

«Θέλει για \displaystyle{x>0\Rightarrow {f}'(x)=2{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'(1)=2e}
γιατί σε συνάρτηση κλαδική (πολλαπλού τύπου) για να εξετάσουμε εάν είναι παραγωγίσιμη σε σημείο αλλαγής τύπου εφαρμόζουμε τον ορισμό της παραγώγου. Επειδή δεν ζητήθηκε δεν μας απασχολεί εάν υπάρχει, εδώ, η παράγωγος στο μηδέν».

Ευχαριστώ τον parmenides51.
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Μάιος 21, 2012 1:11 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από orestisgotsis » Παρ Μάιος 11, 2012 11:47 pm

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 82

i.Αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{h} που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} διέρχεται από τα σημεία
\displaystyle{ A(1,20+e)} και \displaystyle{B(2,e-3)}, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\,1}^{\,2} {h'\left( x \right)dx} }

ii. Αν η συνάρτηση \displaystyle{g} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για \displaystyle{x= -2 } και
ισχύει ότι \displaystyle{\int_{ - 1}^{ - 2} {\left( {4g''\left( x \right) - 2x - 3} \right)dx}  = 4} , να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της \displaystyle{g(x)} για \displaystyle{x= -1}

iii. Αν η συνάρτηση \displaystyle{f} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για \displaystyle{x= 1} με τιμή \displaystyle{3} ,
ισχύει πως \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {\left( {5f''\left( x \right) - 2f'\left( x \right)}-3e^x \right)dx}  = 2012} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x)} διέρχεται από την αρχή των αξόνων,
να υπολογίσετε την τιμή της \displaystyle{f'(x)} για \displaystyle{x= 0}.


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 82

i) Η γραφική παράσταση της \displaystyle{h} διέρχεται από τα \displaystyle{A(1,20+e)} και \displaystyle{B(2,e-3)}, αν και μόνο αν [\displaystyle{h(1)=20+e και \displaystyle{h(2)=e-3](1).

Είναι \displaystyle{\int\limits_{\,1}^{\,2}{{h}'\left( x \right)dx}=\left[ h(x) \right]_{1}^{2}=h(2)-h(1)\,\,\overset{(1)}{\mathop{=}}\,\,\,e-3-(20+e)=-23}.

ii) Από \displaystyle{\int\limits_{-1}^{-2}{\left( 4{g}''\left( x \right)-2x-3 \right)dx}=4\Rightarrow \left[ 4{g}'(x)-{{x}^{2}}-3x \right]_{-1}^{-2}=4}

\displaystyle{\Rightarrow 4{g}'(-2)-{{(-2)}^{2}}-3(-2)-\left[ 4{g}'(-1)-{{(-1)}^{2}}-3(-1) \right]=4\Rightarrow {g}'(-2)-{g}'(-1)=1\,\,\,(2)}.

Επειδή η g παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \displaystyle{x=-2}, από το Θ. Fermat θα είναι

{g}'(-2)=0\,\,\,(3). Από (2),(3)\Rightarrow {g}'(-1)=-1 που είναι και ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της g για \displaystyle{x=-1}.

iii) Έχουμε \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,1}{\left( 5{f}''\left( x \right)-2{f}'\left( x \right)-3{{e}^{x}} \right)dx}=2012\Rightarrow \left[ 5{f}'(x)-2f(x)-3{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=2012}

\displaystyle{\Rightarrow 5{f}'(1)-2f(1)-3{{e}^{1}}-\left[ 5{f}'(0)-2f(0)-3{{e}^{0}} \right]=2012\,\,\,(4)}.

Επειδή η f παρουσιάζει ακρότατο στο \displaystyle{x=1} θα είναι {f}'(1)=0\,\,\,(5). Η τιμή του ακρότατου στο \displaystyle{x=1} είναι 3, δηλαδή f(1)=3\,\,\,(6).

Από τις (5),(6) η (4) γίνεται \displaystyle{\Rightarrow 5\cdot 0-2\cdot 3-3e-5{f}'(0)+2f(0)+3=2012}

\displaystyle{\Rightarrow -6-3e-5{f}'(0)+2f(0)+3=2012}.

Όμως η γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x)} διέρχεται από την αρχή των αξόνων, οπότε

f(0)=0 και η τελευταία σχέση δίνει \displaystyle{-5{f}'(0)=2015+3e} ή \displaystyle{{f}'(0)=-\frac{2015+3e}{5}}.



Επιστροφή σε “ΕΠΑ.Λ.”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης