Κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή

#1

Ποιό κλάσμα $\dfrac{a}{b}$ με

$\displaystyle{\dfrac{19}{94}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{17}{76}}$

έχει τον μικρότερο παρονομαστή;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Garfield · #2

$\displaystyle{\frac{19}{94}<\frac{a}{b}<\frac{17}{76} \Longleftrightarrow 4+\frac{18}{19}<\frac{b}{a}<4+\frac{8}{17}}$ (1)

Eπομένως $\displaystyle{\frac{b}{a}>4}$ και $\displaystyle{\frac{b}{a}<5}$

Άρα έχουμε ότι: $\displaystyle{ b=4a+x}$ όπου 0<x<a

.

Έτσι η (1) μας δίνει: $\displaystyle{ \frac{18}{19}<\frac{x}{a}<\frac{8}{17} \Longleftrightarrow \frac{19x}{18}<a<\frac{17x}{8}}$

Ο μικρότερος θετικός ακέραιος

που ικανοποιεί την τελευταία είναι ο x=1

. Έτσι βρίσκουμε a=2

και

Θα δείξουμε τώρα ότι ο ζητούμενος ρητός είναι ο $\displaystyle{\frac{2}{9}}$ .

Για $x\geq2$ έχουμε: $\displaystyle{ \frac{19\cdot2}{18}=\frac{38}{18}=2+\frac{2}{18}<a \Longrightarrow a\geq3 }$

και άρα $\displaystyle{ b=4a+x \geq 4\cdot3+2=14 }$ .

Ελπίζω να μην έχασα κάπου.

ΥΣ. Το ίδιο θέμα ( με διαφορετικά νούμερα) είχε τεθεί και στον Αρχιμήδη των μικρών το 2004.

Κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή

Κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή

Re: Κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή

Μέλη σε σύνδεση