σύστημα

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών το σύστημα :
x² + y² = 2z
y² + z² = 2x
z² + x² = 2y

#2

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{(x+1)^2 + (y+1)^2 = 2(z+y+x+1) (y+1)^2 + (z+1)^2 = 2(x+y+z+1) (z+1)^2 + (x+1)^2 = 2(y+z+x+1)}$

Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις παίρνουμε ότι

$\displaystyle{(x+1)^2=(y+1)^2 \Rightarrow x=y \vee x+y=-2}$

Ομοίως $\displaystyle{y=z \vee y+z=-2}$ και $\displaystyle{z=x \vee z+x=-2}$ .

Επειδή από τις αρχικές εξισώσεις προκύπτει ότι τα $\displaystyle{x,y,z}$ είναι μη αρνητικά, έχουμε τελικά ότι

$\displaystyle{x=y=z}$

Άρα η πρώτη από τις αρχικές γίνεται $\displaystyle{x^2=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=1}$

Άρα έχουμε δύο τριάδες λύσεων $\displaystyle{(x,y,z)=(0,0,0)}$ και $\displaystyle{(x,y,z)=(1,1,1)}$ , οι οποίες είναι δεκτές, γιατί επαληθεύουν τις

εξισώσεις του συστήματος.

#3

Μία διαφορετική ως πρός το ήμισυ λύση είναι η εξής:
Παρατηρώ πως $\displaystyle{ x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0 }$
Αν αφαιρέσω 1η και 2η εξίσωση λαμβάνω:
$\displaystyle{ x^2 - z^2 = 2(z - x) \Rightarrow ...(x - z)(x + z + 2) = 0 \Rightarrow x = z \vee x + z = - 2 }$
Η δεύτερη συνθήκη αποκλείεται να ισχύει αφού πρόκειται για άθροισμα μη αρνητικών αριθμών.
Με παρόμοιο τρόπο(αφαιρώντας 1η με 3η και 2η με 3η) μπορώ να δείξω πως $\displaystyle{ y = z,x = y }$
Συνεπώς $\displaystyle{ x = y = z }$
Με μία αντικατάσταση π.χ στην 1η εξίσωση έχω:
$\displaystyle{ 2x^2 = 2x \Rightarrow 2x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = 1 }$
Τότε λύσεις είναι οι τριάδες
$\displaystyle{ \begin{array}{l} (x,y.z) = (0,0,0) \\ (x,y,z) = (1,1,1) \\ \end{array} }$
Εύκολα διαπιστώνουμε(θέμα πράξεων) πως επαληθεύουν το σύστημα.

σύστημα

σύστημα

Re: σύστημα

Re: σύστημα

Μέλη σε σύνδεση