Συναρτησιακή 146

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)}$ με

$\displaystyle{f(x^2+x) \le x \le f^2(x)+f(x), \forall x \ge 0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #2

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$ με g(x)=x^2+x,

η οποία είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1 και επί.

Επομένως, η

αντιστρέφεται και $g^{-1}:[0,+\infty )\to [0,+\infty ),$ γνησίως αύξουσα και αυτή.

Η δοθείσα σχέση γράφεται: $f(g(x) \leq x\leq g(f(x)),$ για κάθε $x\geq 0.$

Για κάθε $x\geq 0$ είναι $x\leq g(f(x)) \Rightarrow g^{-1}(x) \leq g^{-1}(g(f(x))) \Rightarrow g^{-1}(x) \leq f(x) \quad (1)$

Για κάθε $x\geq 0$ το $g^{-1}(x)\in [0,+\infty ),$ οπότε $f(g(g^{-1}(x))) \leq g^{-1}(x) \Rightarrow f(x) \leq g^{-1}(x) \quad (2)$

Από $(1) \: , \: (2)$ έχουμε $f(x)=g^{-1}(x),$ για κάθε $x\geq 0.$

Εύκολα βρίσκουμε ότι $f(x)=g^{-1}(x) = \dfrac{\sqrt{4x+1}-1}{2} , \; x\geq 0,$ η οποία επαληθεύει τη δεδομένη σχέση.

Συναρτησιακή 146

Συναρτησιακή 146

Re: Συναρτησιακή 146

Μέλη σε σύνδεση