Συναρτησιακή 206 (Δελτίο Νο:5)

#1

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\displaystyle{(x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2\le h(y) \le (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2, \forall x,y \in \mathbb{R}}$

#2

s.kap έγραψε:Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\displaystyle{(x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2\le h(y) \le (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2, \forall x,y \in \mathbb{R}}$

Θέτουμε όπου

το

στην αρχική και παίρνουμε: $-yf(0)+h(0)+y^2\leq h(y)\leq -yg(0)+h(0)+y^2, \forall \ y\in\mathbb{R} \ \ (1)$ οπότε $-yf(0)+h(0)+y^2\leq -yg(0)+h(0)+y^2, \forall \ y\in\mathbb{R}$ απ' όπου $yf(0)\geq yg(0), \forall \ y\in\mathbb{R}$ .

Θέτουμε στην τελευταία διαδοχικά όπου

το 1 και το -1 και παίρνουμε τελικά $f(0)=g(0) \ \ (2)$ .

Από την (1)

και λόγω της (2)

παίρνουμε αφενός $h(y)\geq h(0)-yf(0)+y^2, \forall \ y\in\mathbb{R}$ και αφετέρου $h(y)\leq h(0)-yf(0)+y^2, \forall \ y\in\mathbb{R}$ απ' όπου τελικά $\boxed{h(x)=h(0)-xf(0)+x^2, \ \ \forall x\in\mathbb{R} \ \ (3)}$ .

Αντικαθιστούμε την (3)

στην αρχική σχέση και θέτουμε στην αριστερή ανισότητα διαδοχικά όπου

το

και το

και παίρνουμε $f(x)\geq f(0)-x, \forall \ x\in\mathbb{R}$ και $f(x)\leq f(0)-x, \forall \ x\in\mathbb{R}$ αντίστοιχα, απ' όπου τελικά $\boxed{f(x)=f(0)-x, \forall \ x\in\mathbb{R}}$ .

Θέτουμε τώρα στην δεξιά ανισότητα διαδοχικά όπου

το

και το

και ακριβώς όμοια όπως πριν παίρνουμε τελικά $\boxed{g(x)=f(0)-x, \forall \ x\in\mathbb{R}}$ .

Οι παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούν τη δοσμένη αρχική ανισότητα άρα είναι και οι ζητούμενες.

Αλέξανδρος

Συναρτησιακή 206 (Δελτίο Νο:5)

Συναρτησιακή 206 (Δελτίο Νο:5)

Re: Συναρτησιακή 206

Μέλη σε σύνδεση