Συναρτησιακή 261

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση

$\frac {1}{2}f(xy)+\frac {1}{2}f(xz)-f(x)f(yz) \ge \frac {1}{4}, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$

#2

Για

βρίσκουμε $\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}.$

Ομοίως για x=y=z=1

είναι $\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}.$

Θέτουμε y=z=1

και έχουμε $\displaystyle f(x)\geq \frac{1}{2},$

ενώ για y=z=0

είναι $\displaystyle f(x)\leq \frac{1}{2}$

οπότε $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}, \ \forall x,$ που είναι λύση.

#3

Απλό και χαριτωμένο το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ , οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση

$\frac {1}{2}f(xy)+\frac {1}{2}f(xz)-f(x)f(yz) \ge \frac {1}{4}, \forall x,y,z \in \mathbb{R}^+$

Λάμπρος Μπαλός · #4

socrates έγραψε:Απλό και χαριτωμένο το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ , οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση

$\frac {1}{2}f(xy)+\frac {1}{2}f(xz)-f(x)f(yz) \ge \frac {1}{4}, \forall x,y,z \in \mathbb{R}^+$

Αρχικά η (1) για x=y=z=1

:

Η (1) για

δίνει:

μεγαλύτερη ή ίση του 1/2

.

Αν υπάρχει

ώστε

τότε για

και

$f (c^{-2})f (c)\leq 1/4$

Δηλαδή το $f (c^{-2}) \leq \frac{1}{4f (c)} < \frac{1}{2}$ . Άτοπο.

Άρα $f(x)=\frac{1}{2}$ .

#5

Συναρτησιακή 261

Συναρτησιακή 261

Re: Συναρτησιακή 261

Re: Συναρτησιακή 261

Re: Συναρτησιακή 261

Re: Συναρτησιακή 261

Μέλη σε σύνδεση