Ανισότητα

#1

Να δείξετε ότι

$\displaystyle \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{4}+a^{2}c^{2}+c^{4}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}a^{2}+a^{4}}}\ge\sqrt3,$

όπου a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους $\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\ge a^{3}+b^{3}+c^{3}.$

#2

Ας τη φέρουμε στην επικαιρότητα...

#3

Ξεχάστηκε... Ας τη δούμε...

#4

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Όλη η υπόθεση είναι να αποδειχθεί η ανισότητα της υπόδειξης του Θανάση:

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{3(b^4+b^2c^2+c^4)}.}$

Είναι

$\displaystyle{(a^3+b^3+c^3)^2=a^6+b^6+c^6+2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3=(b^6+a^3b^3+a^3b^3)+(c^6+a^3c^3+a^3c^3)+(a^6+b^3c^3+b^3c^3)\geq}$

$\displaystyle{\geq 3\sqrt[3]{b^{12}a^6}+3\sqrt[3]{c^{12}a^6}+3\sqrt[3]{a^6b^6c^6}=3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\geq \sqrt{3} \sum \frac{a^4}{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{3}\frac{a^4+b^4+c^4}{a^3+b^3+c^3}\geq \sqrt{3}.}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση