Σταθερά σημεία συνάρτησης

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σταθερά σημεία συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap »

Έστω f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} μία συνάρτηση με την ιδιότητα f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}

(προσθετική). Αν το σύνολο A=\{x \in \mathbb{R}/f(x)=x\} είναι πεπερασμένο, πόσα στοιχεία έχει;
Σπύρος Καπελλίδης
Κορυφή
Marios V.
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος/Αγγλία

Re: Σταθερά σημεία συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Marios V. »

αν για κάποιον αριθμό k ισχύει f(k)=k, τότε f(ak)=f(k)+f(k)+f(k)+...+f(k)=ak. Οπότε θα ισχύει και για τους άπειρους αριθμούς ak. Απο την άλλη, για x=y=0 έχουμε ότι πρέπει f(0)=2f(0), και άρα f(0)=0. Για k=0, έχουμε ak=0 που σημαίνει ότι για k=0 οι αριθμοί ak δεν είναι άπειροι.
Οπότε το ζητούμενο ισχύει μόνο για x=0.
Μάριος Βοσκού
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης