15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Ένα φυλλάδιο που ετοίμασα το καλοκαίρι για τους μαθητές του Γυμνασίου, που κάνουν τα πρώτα τους βήματά στους διαγωνισμούς.

Προτείνω να λύσουμε τουλάχιστον αυτές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Έτσι και αλλιώς όλες τις λύσεις τις έχωαναλυτικά γραμμένες και θα τις αναρτήσω στο πέρας των προσπαθειών.

Την άσκηση 13 την έχει λύση εδώ ο Δημήτρης.

Σημείωση: Την όμορφη ιδέα την πήρα από ένα συνάδελφο, την δούλεψα και το αποτέλεσμα το έχετε μπροστά σας...

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=408

#2

Δεν διαβάζεται το αρχείο από το δικό μου τουλάχιστον υπολογιστή.

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Χρήστο, Γρηγόρη είναι rar (συμπιεσμένο αρχείο), θα το ανεβάσω και σε άλλη θέση για να είναι πιο εύκολο.

Δείτε εδώ και πείτε μου

#4

Από την παραπομπή διαβάζεται.

#5

Μάκη, πολύ χρήσιμο. Ευχαριστούμε.

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Κάνω την αρχή, όποιος θέλει ανταποκρίνεται...

Άσκηση 4 (Β)
Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon }$ ακέραιοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, τέτοιοι ώστε: $\displaystyle{\left( {3 - \alpha } \right) \cdot \left( {3 - \beta } \right) \cdot \left( {3 - \gamma } \right) \cdot \left( {3 - \delta } \right) \cdot \left( {3 - \varepsilon } \right) = 45}$

Βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{{\rm K} = \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon }$

Λύση
Αφού οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon }$ είναι διαφορετικοί αριθμοί τότε και οι παράγοντες $\displaystyle{3 - \alpha ,\,3 - \beta ,\,3 - \gamma ,\,3 - \delta ,\,3 - \varepsilon }$ είναι διαφορετικοί.

Όμως το $\displaystyle{45 = {3^2} \cdot 5 = 3 \cdot 3 \cdot 5}$ έχει 2 διαφορετικούς παράγοντες, ενώ το α΄ μέλος έχει 5 διαφορετικούς παράγοντες.

Άρα η σκέψη είναι πώς να δημιουργήσουμε 5 διαφορετικούς παράγοντες στον αριθμό 45‼ Φυσικά έχουμε πρόβλημα με τα δύο ίδια 3, άρα πρέπει να βρούμε ένα τρόπο να τα κάνουμε διαφορετικά, αλλά πως όμως;

Αρχικά εμφανίζουμε το 1, άρα έχουμε 3 διαφορετικούς παράγοντες (1, 3, 5). Τώρα για τα δύο ίδια 3 κάνουμε το εξής, εμφανίζουμε το -1 στους παράγοντες και κάνουμε το ένα τρία, μείον τρία ,δηλαδή,

$\displaystyle{45 = \left( { - 1} \right) \cdot 1 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 3 \cdot 5}$

Οπότε έχουμε 5 διαφορετικούς παράγοντες στο β΄ μέλος, – 1, 1 , – 3, 3, 5 όπως και στο α΄ μέλος, άρα η αντιστοίχηση γίνεται εύκολα!

Οπότε η τιμή της παράστασης γίνεται:

$\displaystyle{{\rm K} = \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon = - \left[ {\left( {3 - \alpha } \right) + \left( {3 - \beta } \right) + \left( {3 - \gamma } \right) + \left( {3 - \delta } \right) + \left( {3 - \varepsilon } \right)} \right] + 15 = - \left( { - 1 + 1 - 3 + 3 + 5} \right) + 15 = 10}$

#7

Άσκηση 1Γ(α)

Αν $x.y\neq 0$ τότε οι αριθμοί $2^{x},4^{y}$ είναι άρτιοι άρα και το άθροισμά τους είναι άρτιος, πράγμα άτοπο, αφού έχουμε ότι: $2^{x}+4^{y}=1025$

Άρα θα είναι x=0

ή

1η Περίπτωση x=0

Τότε έχουμε ότι $1+4^{y}=1025\Leftrightarrow 4^{y}=1024\Leftrightarrow y=5$

2η Περίπτωση: y=0

Τότε έχουμε: $2^{x}+1=1025\Leftrightarrow 2^{x}=1024\Leftrightarrow x=10$

Με παρόμοιο τρόπο λύνονται και τα ερωτήματα: 1Γ(β) και 1Γ(γ)

#8

Άσκηση 2 (Α): Γνωρίζουμε ότι x=3k

ή

όπου $k\epsilon Z$

1η Περίπτωση: x=3k

. Τότε $f(x)=\frac{3k(9k^{2}+2)}{3}=k(9k^{2}+2)\epsilon Z$

2η Περίπτωση: x=3k+1

.Τότε $f(x)=\frac{(3k+1)(9k^{2}+6k+3)}{3}=(3k+1)(3k^{2}+2k+1)\epsilon Z$

3η Περίπτωση: x=3k+2

. Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι f(x)

είναι ακέραιος.

1(Β)(Ι)

Έχουμε $f(x)=1\Rightarrow x(x^{2}+2)==3$ . Άρα πρέπει $x=1,x^{2}+2=3$ ή

$x=3,x^{2}+2=1$ που προφανώς είναι άτοπο. Άρα μένει μόνο x=1

Όμοια αντιμετωπίζουμε και τα ερωτήματα 1Β(ΙΙ) και 1Β(ΙΙΙ)

Γ, Θα πρέπει $x_{0}(x_{0}^{2}+2)=3.2011$ . Και η συνέχεια γίνεται κατά τα γνωστά.

Δ. Εύκολα με αντιπαράδειγμα, βρίσκουμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.Π.χ αν f(x)=2

#9

ΑΣΚΗΣΗ 9: Αν αναλύσουμε τον αριθμό 11935 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, βρίσκουμε: 11935=5.7.11.31

(Νομίζω ότι από την εκφώνιση προκύπτει ότι υπάρχουν παιδιά της Μαριέττας που δεν πηγαίνουν στο σχολείο και όχι ότι κανένα παιδί δεν πηγαίνει στο σχολείο)

Άρα τα παιδιά της Τούλας έχουν ηλικίες 5,7,11 και η Τούλα έχει ηλικία 31 ετών

Επίσης, έχουμε ότι: 11935=1.5.7.11.31

Άρα τα παιδιά της Μαριέττας έχουν ηλικίες 1,5,7,11 και η Μαριέττα έχει ηλικία 31 ετών

Η Τούλα όταν γέννησε το πρώτο της παιδί, είχε ηλικία 31-11=20

Η Μαριέττα ομοίως 20

Και υπάρχει και μια ειδική περίπτωση: Επειδή 11935=1.1.7.31.55

, θα μπορούσε η Μαριέττα να είναι 55 ετών, το πρώτο παιδί της να είναι 31 ετών (το γέννησε σε ηλικία 24 ετών), το δεύτερο να είναι 7 ετών, και ύστερα να είχε το κουράγιο, σε ηλικία 54 ετών, με εξωσωματική, να γεννήσει και τα δύο διδυμάκια, που σήμερα είναι ηλικίας ενός έτους το καθένα.

Βέβαια την περίπτωση 11935=1.1.5.31.77

, όπου τότε η μητέρα θα έκανε εξωσωματική σε ηλικία 76 ετών, για να την δεχθούμε, θα πρέπει να ρωτήσουμε ειδικό γιατρό.

Για την Τούλα, δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο, αφού από την εκφώνιση δίνεται ότι όλα τα παιδιά της πηγαίνουν στο σχολείο.

Μάκη, μου άρεσε το προβληματάκι, γιατί αν κάποιος μαθητής σκεφτεί τις προεκτάσεις του, θα πρέπει να του
"βγάλουμε το καπέλλο" (το τσερμπέλλο, που λέτε και εσείς οι Ζακυνθινοί

)

Μάκης Χατζόπουλος · #10

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:............Και υπάρχει και μια ειδική περίπτωση: Επειδή 11935=1.1.7.31.55, θα μπορούσε η Μαριέττα να είναι 55 ετών, το πρώτο παιδί της να είναι 31 ετών (το γέννησε σε ηλικία 24 ετών), το δεύτερο να είναι 7 ετών, και ύστερα να είχε το κουράγιο, σε ηλικία 54 ετών, με εξωσωματική, να γεννήσει και τα δύο διδυμάκια, που σήμερα είναι ηλικίας ενός έτους το καθένα.

Βέβαια την περίπτωση 11935=1.1.5.31.77, όπου τότε η μητέρα θα έκανε εξωσωματική σε ηλικία 76 ετών, για να την δεχθούμε, θα πρέπει να ρωτήσουμε ειδικό γιατρό.

Για την Τούλα, δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο, αφού από την εκφώνηση δίνεται ότι όλα τα παιδιά της πηγαίνουν στο σχολείο.

Μάκη, μου άρεσε το προβληματάκι, γιατί αν κάποιος μαθητής σκεφτεί τις προεκτάσεις του, θα πρέπει να του
"βγάλουμε το καπέλο" (το τσερμπέλλο, που λέτε και εσείς οι Ζακυνθινοί )

Δημήτρη τα περιγράφεις και τα αναλύεις υπέροχα! Για την ιστορία, η Μαριέττα είναι η μητέρα μου και έχει δύο παιδιά!

Ελπίζω να υπάρχει συνέχεια και από άλλους συναδέλφους ή μαθητές. Στο τέλος θα παρουσιάσω αναλυτικά τις λύσεις, με ειδική αναφορά στις δικές σας υποδείξεις.

#11

ΑΣΚΗΣΗ 12: Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών ισοτήτων, βρίσκουμε ότι:

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\alpha +2\beta =-2\Rightarrow$

$\alpha ^{2}-2\alpha +1+\beta ^{2}+2\beta +1+\gamma ^{2}=0\Rightarrow$

$(\alpha -1)^{2}+(\beta +1)^{2}+\gamma ^{2}=0\Rightarrow \alpha =1,\beta =-1,\gamma =0$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές αυτές που βρήκαμε επαληθεύουν και τις τρεις δοσμένες εξισώσεις και άρα είναι δεκτές.

Για το δεύτερο τώρα ερώτημα, έχουμε:

$\alpha ^{2011}+\beta ^{2012}+\gamma ^{2013}=1+1+0=2$

$\alpha -\beta +\gamma =1-(-1)+0=2$

Άρα έχουμε το ζητούμενο.

Μάκης Χατζόπουλος · #12

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12: Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών ισοτήτων, βρίσκουμε ότι:

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\alpha +2\beta =-2\Rightarrow$

$\alpha ^{2}-2\alpha +1+\beta ^{2}+2\beta +1+\gamma ^{2}=0\Rightarrow$

$(\alpha -1)^{2}+(\beta +1)^{2}+\gamma ^{2}=0\Rightarrow \alpha =1,\beta =-1,\gamma =0$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές αυτές που βρήκαμε επαληθεύουν και τις τρεις δοσμένες εξισώσεις και άρα είναι δεκτές.

Για το δεύτερο τώρα ερώτημα, έχουμε:

$\alpha ^{2011}+\beta ^{2012}+\gamma ^{2013}=1+1+0=2$
$\alpha -\beta +\gamma =1-(-1)+0=2$

Άρα έχουμε το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι σε αυτή την άσκηση είχε την εξής μορφή, οι λύσεις των α, β, γ και δεν επαλήθευαν όλες τις εξισώσεις με αποτέλεσμα να μην ήταν δεκτές, άρα το β ερώτημα θα ήταν άκυρο. Την παρατήρηση αυτή την έκανε ο Δημήτρης.

Με την νέα μορφή όλα βαίνουν καλώς, ευχαριστώ Δημήτρη για την επισήμανση.

T-Rex · #13

1.A.
α)ο άρτιος γράφεται a=2.n

και ο περιττος b=2.n+1

γ) αν α<β και είναι διαδοχικοι ισχύει β-1=α και α+1=β

1.Γ $3^{x}+9^{y}=10$ το y δεν μπορεί να ειναι μεγαλύτερο απο 1 γιατι 9.9=18 που ειναι μεγα λύτερο απο το 10 αρα το y θα είναι 0 ή 1. Αν είναι 1 τότε $3^{x}+9^{y}=10\Leftrightarrow3^{x}+9^{1}=10\Leftrightarrow 3^{x}+9=10 \Leftrightarrow 3^{x}=10-9\Leftrightarrow 3^{x}=1$ αρα χ=0
αν το y=0 τοτε $3^{x}+9^{y}=10\Leftrightarrow3^{x}+9^{0}=10\Leftrightarrow 3^{x}+1=10 \Leftrightarrow 3^{x}=10-1\Leftrightarrow 3^{x}=9$ αρα χ=2

Μάκης Χατζόπουλος · #14

T-Rex έγραψε:1.A.
α)ο άρτιος γράφεται και ο περιττος
γ) αν α<β και είναι διαδοχικοι ισχύει β-1=α και α+1=β

1.Γ $3^{x}+9^{y}=10$ το y δεν μπορεί να ειναι μεγαλύτερο απο 1 γιατι 9.9=18 που ειναι μεγα λύτερο απο το 10 αρα το y θα είναι 0 ή 1. Αν είναι 1 τότε $3^{x}+9^{y}=10\Leftrightarrow3^{x}+9^{1}=10\Leftrightarrow 3^{x}+9=10 \Leftrightarrow 3^{x}=10-9\Leftrightarrow 3^{x}=1$ αρα χ=0
αν το y=0 τοτε $3^{x}+9^{y}=10\Leftrightarrow3^{x}+9^{0}=10\Leftrightarrow 3^{x}+1=10 \Leftrightarrow 3^{x}=10-1\Leftrightarrow 3^{x}=9$ αρα χ=2

Μπράβο Rex! Αν μας έλεγες και στο 1-Α-α τι είναι και το

θα ήσουν άριστος!

Εξέτασες μόνο την περίπτωση $\displaystyle{\alpha < \beta }$ , τις άλλες;

15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Re: 15 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις

Μέλη σε σύνδεση