Μικρές αλλαγές για να κρύψουμε την πατρότητά της!

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Εύκολο να αντιληφθείτε από που "κατάγεται" αυτή η άσκηση! Μικρές αλλαγές, για να μην κάνει μπαμ η πατρότητά της!

Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:

$\displaystyle{A = \prod\limits_{v = 1}^{299} {\frac{{2v - 1}}{{2\left( {v + 1} \right)}}} ,\,\,\,\,\,\,\,\,B = \prod\limits_{v = 1}^{299} {\frac{{2v}}{{2\left( {v + 1} \right) + 1}}} }$

α) Να υπολογίσετε το γινόμενο: $\displaystyle{A \cdot B}$

β) Να αποδείξετε ότι:
i) $\displaystyle{A < B}$
ii) Και ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{1}{{10 \cdot \sqrt {{6^2} \cdot {{10}^4} - 1} }}}$ ανήκει στο διάστημα $\displaystyle{\left( {A,B} \right)}$

Καλό μήνα και καλή σχολική χρονιά σε όλους τους συνάδελφους και μαθητές!

edit: Άλλαξα ένα εκθέτη - Thanks Θάνο!

#2

Άλλαξα έναν εκθέτη στην εκφώνηση.

a) Είναι

$\displaystyle{AB=\prod_{k=1}^{299}\frac{2k-1}{k+1}\prod_{k=1}^{299}\frac{k}{2k+3}=\prod_{k=1}^{299}\frac{2k-1}{2k+3}\prod_{k=1}^{299}\frac{k}{k+1}.}$

Τα παραπάνω δύο γινόμενα είναι τηλεσκοπικά.

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\prod_{k=1}^{299}\frac{2k-1}{2k+3}=\frac{1}{\cancel{5}}\frac{3}{\cancel{7}}\frac{\cancel{5}}{\cancel{9}}\cdots \frac{\cancel{2\cdot 298-1}}{2\cdot 298+3}\frac{\cancel{2\cdot 299-1}}{2\cdot 299+3}=\frac{3}{599\cdot 601}=\frac{3}{(600-1)(600+1)}=\frac{3}{600^2-1}=\frac{3}{6^210^4-1}}$

και

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\prod_{k=1}^{299}\frac{k}{k+1}=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\cdots \frac{\cancel{298}}{\cancel{299}}\frac{\cancel{299}}{300}=\frac{1}{300}.}$

Άρα, είναι

$\displaystyle{AB=\frac{1}{100(6^210^4-1)}}$ .

b)

i) Το ότι είναι $\displaystyle{A<B}$ φαίνεται από το ότι κάθε όρος του $\displaystyle{A}$ είναι μικρότερος από τον αντίστοιχό του του $\displaystyle{B}$ . Πράγματι, η ανισότητα $\displaystyle{\frac{2k-1}{2(k+1)}<\frac{2k}{2k+3}}$ είναι ισοδύναμη, αφού εκτελεστούν οι πράξεις, με την $\displaystyle{0>-3.}$

ii) Ο αριθμός που δίνεται είναι φανερά ο $\displaystyle{\sqrt{AB}.}$ Οπότε ζητείται να αποδειχθεί, ότι ισχύει

$\displaystyle{A<\sqrt{AB}<B,}$ το οποίο είναι φανερό, αφού $\displaystyle{A<B.}$

$\displaystyle{\rule{600pt}{1pt}}$

Μάκη, τα σχετικά με την πατρότητα της άσκησης δεν τα κατάλαβα!

Μάκης Χατζόπουλος · #3

matha έγραψε:Άλλαξα έναν εκθέτη στην εκφώνηση.

$\displaystyle{\rule{600pt}{1pt}}$

Μάκη, τα σχετικά με την πατρότητα της άσκησης δεν τα κατάλαβα!

Θάνο καλά έκανες με τον εκθέτη, τον άλλαξα και εγώ!!!

Όσο για την "πατρότητα" της άσκησης είναι ένα θέμα από τον Αρχιμήδη (μικροί) 2008 - 09

Μικρές αλλαγές για να κρύψουμε την πατρότητά της!

Μικρές αλλαγές για να κρύψουμε την πατρότητά της!

Re: Μικρές αλλαγές για να κρύψουμε την πατρότητά της!

Re: Μικρές αλλαγές για να κρύψουμε την πατρότητά της!

Μέλη σε σύνδεση