Πολυώνυμο

#1

Έστω

πολυώνυμο, με ακέραιους συντελεστές.

Οι ακέραιοι

και

είναι τέτοιοι ώστε $p(m)p(n)=-(m-n)^{2} .$

Να δείξετε ότι p(m)+p(n)=0 .

#2

Αν $\displaystyle{m=n,}$ το ζητούμενο ισχύει προφανώς.

Έστω τώρα $\displaystyle{m\ne n.}$ Είναι τότε $\displaystyle{m-n/P(m)-P(n)}$ .

Ας θέσουμε λοιπόν, $\displaystyle{P(m)-P(n)=a(m-n)}$ , όπου $\displaystyle{a\in \mathbb{Z}}$ . Θέτουμε και $\displaystyle{P(m)+P(n)=b,}$ με $\displaystyle{b\in \mathbb{Z}.}$

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει

$\displaystyle{2P(m)=b+a(m-n)}$ και $\displaystyle{2P(n)=b-a(m-n).}$

Άρα $\displaystyle{4P(m)P(n)=b^2-a^2(m-n)^2}$ , οπότε, λόγω της υπόθεσης,

$\displaystyle{(a^2-4)(m-n)^2=b^2.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\dagger}$ )

Από τη σχέση αυτή φαίνεται, ότι ο $\displaystyle{a^2-4}$ είναι τέλειο τετράγωνο και αφού είναι ακέραιος, υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k}$ ώστε $\displaystyle{a^2-4=k^2,}$ δηλαδή

$\displaystyle{(a+k)(a-k)=4.}$

Τότε, εύκολα βλέπουμε ότι πρέπει $\displaystyle{a=2}$ (και $\displaystyle{k=0}$ ), οπότε από την ( $\displaystyle{\color{red}\dagger}$ ) βρίσκουμε $\displaystyle{b=0}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

***Προσθήκη: Από την παραπάνω απόδειξη φαίνεται, ότι ισχύει μάλιστα

$\displaystyle{P(m)=m-n}$ και $\displaystyle{P(n)=n-m.}$

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση