Πολυώνυμο

#1

Έστω

και

πολυώνυμα, με ακέραιους συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ακέραιοι

και

είναι ρίζες του P(x)

και ότι

Να δείξετε ότι η εξίσωση Q(P (x)) = 1

δεν έχει ακέραια ρίζα.

#2

socrates έγραψε:Έστω και πολυώνυμα, με ακέραιους συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ακέραιοι και είναι ρίζες του και ότι

Να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραια ρίζα.

Θα χρησιμοποιήσουμε ότι αν $x,y \in \mathbb{Z}$ ( $x\ne y$ ), τότε ο x-y

διαιρεί τον P(x)-P(y)

.

Έστω ότι υπάρχει $b\in \mathbb{Z}$ τέτοιο ώστε Q(P(b))=1

. Τότε από την παραπάνω ιδιότητα ο 1998-P(b)

θα διαιρεί τον Q(1998)-Q(P(b))=2000-1=1999

.

Αφού ο 1999 είναι πρώτος έχουμε ότι δυνατές τιμές του P(b)

είναι

ή

.

Όμως, ο b-a

και ο

διαιρεί τον P(b)-P(a)=P(b)-P(a+1997)=P(b)

κι άρα ο

θα διαιρεί κι αυτός τον P(b)

. Συνεπώς, οι τρεις τελευταίες τιμές, 1997, -1

και

για τον

απορρίπτονται.

Αλλά δεν μπορεί να είναι ούτε P(b)=1997

διότι δεν υπάρχει διαρέτης

του 1997 (ο οποίος είναι πρώτος)
τέτοιος ώστε και ο d-1997

να είναι κι αυτός διαιρέτης του 1997.

Συνεπώς, η εξίσωση Q(P(x))=1

δεν έχει λύση στο $\mathbb{Z}$ . Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση