Μίνιμουμ

KARKAR · #1

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A= \sqrt{x^2+4}+\sqrt{(y-14)^2+1}+\sqrt{(x-y)^2+4}$

Παναγιώτης 1729 · #2

Από την ανισότητα Minkowski έχω $\displaystyle A\geq{\sqrt{(x+14-y+y-x)^2+(2+1+2)^2}}=\sqrt{221}$ . Η ισότητα ισχύει για $(x,y)=(\frac{28}{5},\frac{56}{5})$ .

#3

Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την τριγωνική ανισότητα. Έστω O = (0,0), X = (x,2), Y = (y,4), Z = (14,5)

. Τότε $A = d(O,X) + d(X,Y) + d(Y,Z) \geqslant d(O,Z) = \sqrt{14^2 + 5^2} = \sqrt{221}$ με ισότητα αν και μόνο αν τα σημεία O,X,Y,Z

είναι συνευθειακά και εμφανίζονται με αυτήν την σειρά πάνω στην ευθεία. (Που δίνει x = 28/5,y=56/5

.)

Εδώ με d(X,Y)

συμβολίζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων X,Y

κ.τ.λ.

Επεξεργασία: Διορθώθηκε η λανθασμένη φορά της ανισότητας. (Θάνο, ευχαριστώ.)

KARKAR · #4

Και το σκιτσάκι της (κατά Δημήτρη) λύσης ...

#5

Ευχαριστώ για το σχήμα. Να πω βέβαια ότι η λύση του Παναγιώτη είναι ουσιαστικά η ίδια. Η ανισότητα Minkowski στην περίπτωση p=2

είναι η (γνωστή) τριγωνική ανισότητα.

Εγώ απλώς έκανα την μετάφραση.

Μίνιμουμ

Μίνιμουμ

Re: Μίνιμουμ

Re: Μίνιμουμ

Re: Μίνιμουμ

Re: Μίνιμουμ

Μέλη σε σύνδεση