Μια ωραία ανισότητα

#1

Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

είναι τέτοιοι ώστε $a^2 + b^2 + c^2 - a (b + c) = 2 -\sqrt{2}.$
Να δείξετε ότι $b (c + a) \leq \sqrt{2}$ και $c (a + b) \leq \sqrt{2}.$

Ch.Chortis · #2

socrates έγραψε:Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $a^2 + b^2 + c^2 - a (b + c) = 2 -\sqrt{2}.$
Να δείξετε ότι $b (c + a) \leq \sqrt{2}$ και $c (a + b) \leq \sqrt{2}.$

Socrates,έχετε ήδη τοποθετήσει το θέμα εδώ.

#3

Θέλω να το επαναφέρω.
Είναι ωραία ασκησούλα.

#4

Επαναφορά!

#5

Ξεχάστηκε... Ας τη δούμε...

#6

socrates έγραψε:Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $a^2 + b^2 + c^2 - a (b + c) = 2 -\sqrt{2}.$
Να δείξετε ότι $b (c + a) \leq \sqrt{2}$ και $c (a + b) \leq \sqrt{2}.$

Είναι

$\displaystyle{2-\sqrt{2}=a^2+b^2+c^2-a(b+c)\geq a^2+\frac{(b+c)^2}{2}-a(b+c)\geq 2\sqrt{\frac{a^2(b+c)^2}{2}}-a(b+c)\geq \sqrt{2}a(b+c)-a(b+c)=(\sqrt{2}-1)a(b+c)}$

άρα

$\displaystyle{a(b+c)\leq \sqrt{2}.}$

Επομένως

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2=2-\sqrt{2}+a(b+c)\leq 2.}$

Τότε, έχουμε

$\displaystyle{2\geq a^2+b^2+c^2\geq b^2+\frac{(a+c)^2}{2}\geq 2\sqrt{\frac{b^2(a+c)^2}{2}}\geq \sqrt{2}b(c+a)\implies \boxed{b(c+a)\leq \sqrt{2}}.}$

Με ανάλογο τρόπο προκύπτει και η $\displaystyle{c(a+b)\leq \sqrt{2}.}$

Μια ωραία ανισότητα

Μια ωραία ανισότητα

Re: Μια ωραία ανισότητα

Re: Μια ωραία ανισότητα

Re: Μια ωραία ανισότητα

Re: Μια ωραία ανισότητα

Re: Μια ωραία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση