Σύστημα

irakleios · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\large\left\{\begin{array}{l}x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2}\\z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2}\end{array}\right.$

algal · #2

Εύκολα βλέπουμε ότι αν μια από τις μεταβλητές είναι 0 τότε το σύστημά μας είναι αδύνατο. Άρα χωρίς κανένα περιορισμό εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό: $x=\frac{1}{X},y=\frac{1}{Y},z=\frac{1}{Z}$ . Άρα ισοδύναμα έχουμε να λύσουμε το σύστημα:
$\left\{\begin{matrix}X^2+X+3=(Y+Z)^2 \\ Y^2+Y+4=(Z+X)^2 \\Z^2+Z+5=(X+Y)^2 \end{matrix}\right.$
εξισώσεις που ονομάζω (1),(2) και (3) αντίστοιχα. Οι κατά μέλη αφαιρέσεις (1)-(2) και (2)-(3) δίνουν τις εξισώσεις:
(X-Y)(2(X+Y+Z)+1)=1

και

δηλαδή προκύπτει $X-Y=Y-Z\Leftrightarrow X+Z=2Y$ (4).
Η κατά μέλη αφαίρεση (1)-(3) δίνει:
$(X-Z)(2(X+Y+Z)+1)=2\Leftrightarrow (X-Z)(6Y+1)=2\Leftrightarrow X-Z=\frac{2}{6Y+1}$ . Δηλαδή:
$\left\{\begin{matrix}X+Z=2Y \\ X-Z=\frac{2}{6Y+1} \end{matrix}\right.$
Άρα η λύση του συστήματος είναι $(X,Y,Z)=(Y+\frac{1}{6Y+1},Y,Y-\frac{1}{6Y+1})$
Τέλος από την (2) λόγω της (4) προκύπτει το τριώνυμο 3Y^2-Y-4=0

από το οποίο υπολογίζουμε το

και βρίσκουμε τη λύση του αρχικού βάσει της $(x,y,z)=(\frac{1}{X},\frac{1}{Y},\frac{1}{Z})$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση